Sistemas Complejos

Modelado y Simulación de Sistemas Complejos
Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012
Lino Gustavo Garza Gaona
Problemas Sesión 6

1. [Teórico].
De un ejemplo de un grafo en el cual cada nodoes pivote para al menos un par de nodos. Explique
su respuesta.

Solución
En el siguiente grafo

cada nodo es pivote para al menos un par de nodos. Tenemos que
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A es pivote de B y E.
B espivote de A y C.
C es pivote de D y B.
D es pivote de E y C.
E es pivote de D y A.

De un ejemplo de un grafo en el cual cada nodo es pivote para al menos dos diferentes pares de
nodos. Explique surespuesta.

Solución
En el siguiente grafo

1

cada nodo es pivote de dos pares de nodos. Por ejemplo A es pivote de B y G, pero también de C y G.
De un ejemplo de un grafo de al menos 4 nodos en el cualhaya un sólo nodo X que es pivote para
cada par de nodos (sin contar los pares que incluyan a X). Explique su respuesta.
Solución
En el siguiente grafo

el nodo X es pivote para cada par de nodos, yaque cada par de nodos están conectados sólo através de X.

2. [Analítico]. Considere la siguiente construcción jerárquica: Se inicia por un par de nodos conectados.
En cada generación se agrega a cadanodo i, de grado ki , ki nuevos enlaces que van a un nuevo nodo de
grado 1.
¿Cuál es el número de nodos después de n generaciones.
Construimos la red para las primeras generaciones y obtenemos {2, 4,10, 28, 82} entonces observamos la relación conforme n (número de generaciones) crece y obtenemos que para un n cualquiera
el número de nodos será
#nodos N = 3n + 1,

2

n = {0, 1, 2, 3, . . . }.¿Cuál es la distribución de grado límite?
Se puede ver que para la generación N tenemos 2 nodos de grado 2N , 2 nodos de grado 2N−1 , 6
de grado 2N−2 y así sucesivamente (la diferencia entre cantidadesde nodos consecutivas), hasta
llegar a 2 ∗ 3N−1 nodos de grado 1 y recordemos que tenemos N = 3N + 1 nodos en total. Llamemos
Pk a la probabilidad de que un nodo tenga grado k = 2N , entonces...