Sistemas de control

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Grafique los lugares geométricos de las raíces para el sistema. Determine el valor de k tal que el factor de amortiguamiento relativo sea 0,5. Después determine los polos de lazo cerrado.

* La f.d.t directa G(s) viene dada por: Gs=ks(s2+4s+5)
* El sensor H(s) viene dado por: Hs=1

Como la f.d.t de lazo abierto (f.d.tLA) viene dada por Gs.H(s), entonces:
Gs.Hs=ks(s2+4s+5)
Delpolinomio característico de Gs.H(s) podemos obtener los polos y ceros de lazo abierto, siendo estos:
Np=3 ; Nz=0
P1=0 ; P2=-2+j1 ; P3=-2-j1
Como existen tres polos y no hay ceros de lazo abierto, dichos ceros son no finitos, es decir, están fuera del plano “S”, por lo tanto hay que calcular las asíntotas de los mismos.
* Asíntotas para ceros no finitos
σa=polos-cerosNp-Nz ;αi=180+360(n)Np-Nz
Sustituyendo tenemos:
σa=0+-2+j1+(-2-j13-0=-43 ⇒ σa=-1,33
Para el cálculo de los ángulos de las asíntotas tenemos:
α1=180+360(0)3-0=1803 ⇒ α1=60°
α2=180+360(1)3-0=5403 ⇒ α2=180°
α3=180+360(-1)3-0=-1803 ⇒ α3=-60°

* Puntos de ruptura
Se usa la ecuación característica 1+Gs.Hs=0
Sustituyendo Gs.Hs=ks(s2+4s+5) tenemos:
1+ks(s2+4s+5)=0 ; de aquí se despeja –k, entonces:ss2+4s+5+ks(s2+4s+5)=0 ⇒ s(s2+4s+5)+k=0
-k=ss2+4s+5 ⇒ -k=s3+4s2+5s
La ecuación de –k se deriva con respecto a “s”, se iguala a 0, quedando de la siguiente forma:
∂(-k)∂s=0; derivando en función de “s”, obtenemos:
3s2+8s+5=0 ; Polinomio mediante el cual se obtendrán los posibles puntos de ruptura
s1=-1 ; s2=-1,67
Los dos puntos se encuentran sobre el segmento, por lo tanto, los dos son puntos de rupturadel lugar de las raíces.
* Corte con el eje de frecuencia (jω)
Para conseguir el corte con el eje de frecuencia, se debe trabajar con el polinomio característico 1+Gs.Hs=0, sustituyendo Gs.H(s), obtenemos:
1+ks(s2+4s+5)=0
ss2+4s+5+ks(s2+4s+5)=0 ⇒ s(s2+4s+5)+k=0
s3+4s2+5s+k=0
Aplicando el método de Routh-Hurwitz, tenemos:
s3 | 1 | 5 |
s2 | 4 | k |
s1 | 154k4=20-k4 | 10404=0 |
s0 |4k20-k4020-k4=k20-k4-020-k4=k | __ |

* La fila de “s2” no la podemos tomar porque uno de sus factores no posee “k”.
* Si tomamos la fila de “s1” y despejamos “k”, obtenemos:
20-k4=0 ⇒ k=20
Para k=0 no hay corte con el eje de frecuencia.
Utilizando el polinomio auxiliar, que es el de la fila superior a la fila tomada, obtenemos:
4s2+k=0 Sustituyendo el valor de k tenemos:
4s2+20=0,lo que me arroja dos valores de s, los cuales son: ±j2,24
Se debe verificar si este punto es corte con el eje de frecuencia, esto se hace mediante condición de ángulo, el cual se realiza mediante la grafica, arrojando los siguientes resultados:
θp1=90° ; θp2=tan-11,242=31,79° ; θp3=tan-1(3,242)=58,31°
La formula de condición de ángulo viene dada por:∠polos-∠ceros=180°±5°⇒90°+31,79°+58,31°=180,1°
Cumple con la condición de ángulo, por lo tanto, para k=20 los cortes con el eje de frecuencia ±j2,24
Por lo tanto kcrit=20; wcrit=±j2,24

* Ángulos de salida de los polos de lazo abierto
Para el cálculo de los ángulos de salida de los polos de lazo abierto se utilizara la siguiente fórmula:
i=1Np∠polos-i=1Np∠ceros=180°+360(n)
Entonces:
θp1+Nφp+θp3=180°+360(n)
Se debe calcular los ángulos delos dos polos restantes, los cuales, arrojaron como resultado:
* Para n=0
Calculo del ángulo de salida de P1
θp2=270+tan-121=333,53°; θp3=tan-112=26,56°
φp1+333,53°+26,56°°=180°+3600=180°-333,53°-26,56°1
⇒ φp1=-180°
Calculo del ángulo de salida de P2 y P3
θp1=90°+tan-121=153,43°; θp3=90°
153,43°+φp2+90°=180°+3600=180°-153,43°-90°1 ⇒ φp2=-63,43°
Como el otro polo es el reflejo P2,el ángulo de salida de P3 será el mismo pero de signo contrario, por lo tanto:
φp3=63,43°

Para determinar el valor de k cuando el factor de amortiguamiento es 0,5, se tiene que:
ζ=0,5
Tenemos que ζ=cosθ ⇒ θ=cos-10,5 ⇒θ=60°
Para calcular k por el método grafico, tenemos la siguiente ecuación:
k=1adp1.dp2.dp3
Para calcular las distancias, se utiliza el teorema de Pitágoras,...
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