sistemas de control

UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE INGENIERIA

EXPERIENCIA EDUCATIVA
SISTEMAS DE CONTROL

DOCENTE
ING. ALVARO G. VEGA DE LA GARZA

TRABAJO
ESTABILIDAD DE SISTEMAS

ESTUDIANTES
ALFREDO ORTEGA MENDEZ.
ADAN M. FLORES ELIS
ARTURO SANCHEZ GUZMAN
MARIO F. ESTRADA REYES
RODOLFO A. VERA HERRERA

VERACRUZ, VER.,
30 DE MAYO DE 2014

Capítulo 6
Estabilidad de Sistemas Lineales

LaEstabilidad de un sistema de control es su propiedad más importante, tanto es
así que no se puede hablar de sistema de control si éste no es estable.
Un sistema es estable si responde con una variación finita a variaciones finitas de
sus señales de entrada. Si se considera un sistema lineal e invariante en el tiempo,
la inestabilidad del sistema supondrá una respuesta que aumenta o disminuyedeforma exponencial, o una oscilación cuya amplitud aumenta
exponencialmente. En esas situaciones el sistema no responde a las acciones de
control, por lo que se dice que el sistemas se ha ido de control. Este efecto puede
provocar situaciones muy peligrosas y fallos catastróficos, de ahí la importancia
de estudiar la estabilidad.

Existen una serie de criterios o métodos destinados alanálisis de estabilidad de
sistemas lineales invariantes en el tiempo, entre ellos están el criterio de Routh
Hurwits, el criterio de Nyquist, los diagramas de Bode y el Lugar Geométrico de
las Raíces. Todos los métodos están basados en la función de transferencia del
sistema y, en general, no son aplicables ni a sistemas variantes en el tiempo ni a
los no lineales. En este capítulo se analizarala estabilidad de sistemas lineales con
base a su representación matricial de variables de estado pero usando un criterio
de estabilidad llamado el método directo de Liapunov el cual puede ser usado
también tanto en sistemas variantes en el tiempo como en no lineales.

6.1. DEFINICONES ASOCIADAS CON ESTABILIDAD
En esta sección se presenta una serie de definiciones y consideracionesnecesarias
para establecer claramente los métodos de análisis de estabilidad que serán
presentados posteriormente. La estabilidad estudiada es la presentada, que se
considerará está descrito por la ecuación autónoma,
𝑥 = 𝐴𝑥
(6.1)
donde x es el vector de estado (n x 1) y A es una matriz de orden (n x n). la solución
de la Ec. (6.1), considerando un vector de condiciones iniciales x(t0) = x0 para uninstante t = t0 se denota como:
𝑥(𝑡; 𝑥0 , 𝑡0 ) = Φ(𝑡)𝑥0
(6.2)
con Φ(t) la matriz de transición de estado correspondiente a la matriz A.
Definición 6-1: En el sistema descrito por la Ec. (6.1) un estado xe se denomina
estado de
equilibrio si y sólo si:
𝐴𝑥 𝑒 = 0
(6.3)
Si A es no singular entonces el sistema posee un estado de equilibrio único xe =
0. Si A es singular existirán infinitosestados de equilibrio.
Control Moderno
Para el estado de equilibrio se cumple que:
𝑥(𝑡; 𝑥 𝑒, 𝑡0 ) = 𝑥 𝑒

𝑡 ≥ 𝑡0

(6.4)

es decir, que el sistema permanece en el estado de equilibrio para todo t ≥ t0 si
ninguna entrada le es aplicada. Otro aspecto que se debe recordar es la norma de
un vector.
Definición 6-2: La norma de un vector x (n x 1) se denota ||x|| y se define
mediante laecuación:
𝑛

1/2

‖𝑥‖ = [∑ 𝑥 2 ]
𝑖
𝑖=1

(6.5)

xi representa los elementos de x y ||x|| se puede interpretar como la distancia
que existe entre el origen del espacio de estado hasta el punto de coordenadas xi
o, en otras palabras ||x|| representa la longitud de x.
Existen diferentes tipos de estabilidad, los cuales se refieren al comportamiento
del vector de estado del sistema en lascercanías del estado de equilibrio; por esta
razón se hablará de la estabilidad del estado de equilibrio. Cualquier estado de
equilibrio diferente de cero, se puede transformar en xe = 0 por translación de
coordenadas, por ello siempre se hará referencia al estado de equilibrio situado
en el origen xe = 0.
Definición 6-3: El estado de equilibrio xe del sistema Ec. (6.1) es estable en el...