Sistemas De Ecuaciones Diferenciales Lineales

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
 J. Albizuri, J.J. Anza, C. Bastero y M. Martínez -Nebreda |
INTRODUCCIÓN
Este tema está dedicado a la discusión de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. Dichos sistemas aparecen en problemas que tienen relación con varias variables dependientes que son función de la misma variable independiente.
Por ejemplo, las leyes deNewton.

donde m es la masa de la partícula, (x1, x2, x3) son sus coordenadas espaciales y F1, F2, F3 las componentes de la fuerza actuante sobre la partícula en dicha posición, que pueden ser función de la posición, de la velocidad y del tiempo.
Hay una importante conexión entre los sistemas de ecuaciones y las ecuaciones de orden arbitrario. De hecho una ecuación de orden n
| (1) |
puedeser reducida a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden con una forma bastante particular. Para verlo se va a efectuar los siguientes cambios de variables, llamando

...

Entonces se puede reescribir (1) como

...

que es un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden.
En el caso más general un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden tiene tiene laforma:

...

Antes de proseguir será necesario establecer en qué caso hay solución del sistema y si ésta es única. Para ello, se enuncia el siguiente teorema:
Teorema
Sean continuas en una región R del espacio (n+1) dimensional las funciones

y tal que dicha región contiene el punto . Entonces existe un intervalo en el que hay solución única de la forma:

...

del sistema de ecuacionesdiferenciales que satisface la condición

...

Nota.- Es importante saber que este teorema da las condiciones suficientes para que haya solución, sin embargo, no establece las necesarias. Es decir, las condiciones son muy restrictivas y puede encontrarse un sistema que sin cumplirlas totalmente tenga solución única.
Los sistemas se clasifican como las ecuaciones ordinarias. Pueden serlineales y no lineales. Si las funciones tienen la forma

el sistema se dice lineal. Si no, es no lineal. Si es cero en todas y cada una de las ecuaciones, el sistema se dice homogéneo; en caso contrario, no homogéneo.
Para los sistemas lineales el teorema de existencia y unicidad de solución es más simple y con una conclusión más amplia. Es un teorema de existencia de solución global, como en elcaso de las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Si las funciones y son continuas en el intervalo abierto
 < t < 
que contiene al punto , entonces existe una única solución al sistema de la forma:

...

que satisface las condiciones de valor inicial

...

Obsérvese que la existencia y unicidad de la solución del sistema está asegurada en todo el intervalo en que las funcionespij(t) y qi(t) son continuas a diferencia de los sistemas no-lineales en los que la existencia y unicidad quedaba consignada en un subintervalo incluido en el de continuidad de las funciones.
 
TEORIA BASICA DE LOS SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
Sea un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de 1er orden

...

Utilizando notación matricial el sistema se puede escribirdonde

y su derivada

y

Esta notación, además de simplificar la escritura, enfatiza el paralelismo entre los sistemas y las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Se dice que un vector x = { (t)} es solución del sistema si sus componentes satisfacen todas las ecuaciones del sistema.
Supóngase que P y q son continuos en un intervalo  < t <  . En primer lugar, seestudia la ecuación homogénea
| (1) |
Una vez que esta ecuación esté resuelta se resolverá la no-homogénea.
Sean

soluciones específicas de la ecuación homogénea.
Teorema 1
Si y son soluciones del sistema (1), entonces

es solución también, donde y son constantes arbitrarias.
Este es el principio de superposición y se comprueba sin más que diferenciar la solución propuesta y sustituirla...