Sistemas Lineales De Sgundo Orden

4. SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN (I)
4.1 INTRODUCCIÓN – DOMINIO TIEMPO
Un sistema lineal de segundo orden con una variable de entrada, " x(t )" , y una variable salida, " y (t )" se modela matemáticamente con una ecuación que en función de parámetros de significado dinámico se escribe en la siguiente forma:
d 2 y (t ) dy (t ) + 2ζτ + y (t ) = Kx (t ) 2 dt dt

τ2

(4.1)

Siendo, τuna constante de tiempo, ζ el factor de amortiguamiento y K la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos tres parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinámico, el valor del factor de amortiguamiento determina el tipo de respuesta del sistema y la ganancia tiene el mismo significado definido para lossistemas de primer orden La ecuación (4.1) se escribe, usualmente, en términos de las variables desviación con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estándar para análisis dinámico o de sistemas de control:
d 2Y (t ) dY (t ) τ + 2ζτ + Y (t ) = KX (t ) 2 dt dt
2

(4.2)

Siendo,

Y (t ) = y (t ) − y (0) X (t ) = x(t ) − x(0)

La solución de una ecuacióndiferencial lineal no homogénea como la (4.2) es la suma de una solución general y una solución particular. La solución general es la que se obtiene con la parte homogénea de la ecuación, es decir, con la expresión contenida en el miembro izquierdo igualado a cero y la solución particular depende de la expresión matemática que constituye al miembro derecho de la ecuación no homogénea. Para la solucióngeneral se plantea la denominada Ecuación característica o Ecuación auxiliar correspondiente a una ecuación algebraica

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polinómica del mismo grado de la parte homogénea de la ecuación diferencial. Para la ecuación (4.2), la ecuación característica es de segundo grado con la siguiente expresión, siendo "r" las raíces de la ecuación característica:
τ 2 r 2 + 2ζτ r + 1 = 0

(4.3)

Las raícesde la ecuación (4.3) se obtienen con la siguiente fórmula:

r=

− ζ ± ζ 2 −1

τ

(4.4)

La ecuación (4.4) muestra que la naturaleza de sus raíces depende del factor de amortiguamiento, lo que determina el tipo de respuesta que se obtiene para la ecuación diferencial (4.2) o el comportamiento del sistema, de la siguiente manera:

Si ζ > 1 , las raíces son reales diferentes y negativasy la respuesta del sistema es una
suma de términos exponenciales con signos negativos. Esto se define como un Comportamiento monotónico estable o Sobreamortiguado

Si ζ = 1 , las raíces son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es una
expresión exponencial con signo negativo. Esto muestra un Comportamiento monotónico estable crítico o Amortiguado crítico porque si se disminuyeel valor del coeficiente de amortiguamiento la respuesta es de tipo subamortiguado y si, por lo contrario, se aumenta el sistema es más sobreamortiguado

Si 0 < ζ < 1 , las raíces son complejas conjugadas con parte real negativa y la
respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal decreciente. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio estable o Subamortiguado estable

Si ζ = 0, las raíces son cantidades imaginarias iguales de signo contrario y la
respuesta del sistema es una expresión sinusoidal. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio sostenido

Si − 1 < ζ < 0 , las raíces son complejas conjugadas con parte real positiva y la
respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal creciente. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio inestable oSubamortiguado inestable, es decir con oscilaciones de amplitud creciente

Mach

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Si ζ ≤ −1 , las raíces son reales positivos y la respuesta del sistema es una expresión
exponencial con signos positivos. Esto muestra un Comportamiento monotónico inestable o Sobreamortiguado inestable.

4.2 RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Al considerar que en la ecuación diferencial heterogénea...