Sistemas lineales

MATEMÁTICAS

TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES

Juan Jesús Pascual

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
A. Introducción teórica
B. Ejercicios resueltos

A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales está formado por ecuaciones de primer
grado en todas las incógnitas. Todas esas ecuaciones han de verificarse a la
vez.
Unsistema formado por dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede escribir
como sigue:
a11 x + a 12 y = b1



a 21 x + a 22 y = b2


Cada una de estas ecuaciones es una recta. La solución del sistema es el
punto en el que se cortan las dos rectas. Puede pasar que las rectas no se
corten. En ese caso el sistema no tiene solución
Un sistema lineal de tres ecuaciones y tres incógnitasse puede escribir como
sigue:

a11 x + a 12 y + a 13 z = b1



a x + a y + a z = b
 21
22
23
2

a x + a y + a z = b
 33
33
33
3


Cada una de estas ecuaciones es un plano. La solución del sistema es el
punto en el que se cortan los dos planos. El sistema sólo tiene solución
cuando los tres planos intersectan entre sí.

Métodos de resolución
a) Método desustitución.
En una de las dos ecuaciones del sistema se despeja una incógnita y luego
se sustituye esa expresión en la otra ecuación.

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Ejemplo:
x + y = 2

Resuelve: 

3x − y = −5



Por conveniencia, despejamos x de la ecuación primera. Luego
sustituimos ese valor en laotra ecuación y operamos.

x + y = 2
x = 2 − y



⇒


3x − y = −5 3x − y = −5




⇓
3 ( 2 − y ) − y = −5 ⇒
⇒ 6 − 3y − y = −5 ⇒ −4y = −11 ⇒
⇒ y=

11
4

Ya hemos hallado y. Para conseguir x llevamos el valor de y a cualquiera
de las dos ecuaciones.



x = 2 − y ⇒ x = 2 − 11 ⇒ x = − 3


4
4


3x − y = −5



La solución obtenida puedeexpresarse así:
 3 11 



 4 4

(x, y) = − ,



b) Método de igualación.
En cada una de las dos ecuaciones del sistema se despeja la misma
incógnita, igualando luego ambas expresiones. De ahí se obtienen las
soluciones buscadas.
Ejemplo:
x = 2 − y



x + y = 2

Resuelve: 
⇒

−5 + y ⇒


3x − y = −5 x =


3

−5 + y ( 2 − y ) 3 − 5 + y
2−y =
⇒=
⇒
3
3
3

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6 − 3y = −5 + y ⇒ −4y = −11 ⇒ y =

11
4

Calculemos x :
11
11
3
y = ⇒ x = 2− ⇒ x =−
4
4
11
 3 11 
Conclusión: (x, y) = − , 



 4 4


c) Método de reducción.
El método de reducción implica emplear algo de ingenio. Consiste en
manipularde forma conveniente a las ecuaciones, multiplicándolas por
números convenientes, con el fin de que al sumarlas se cancele alguna
incógnita y obtener así la otra de una forma sencilla.
Ejemplo:

−10x − 5y = −10

2x + y = 2


⇒


3x + 5y = −5 3x + 5y = −5




− 7x = −15 ⇒
⇒ x=

15
7

Lo que hemos hecho ha sido multiplicar la ecuación superior por –5. De
estemodo al sumar ambas ecuaciones se pierde la y y la x se obtiene casi
de forma inmediata.

 15 
30
16
2x + y = 2 ⇒ 2   + y = 2 ⇒ y = 2 − ⇒ y = −
 

7

7
7
Conclusión:
 15 16 
(x, y) =  , − 



7

7

d) Método de Gauss.
Este método es utilizado para resolver sistemas de tres ecuaciones y más.
Vamos a analizar el caso en el que tenemos un sistema de tresecuaciones
y tres incógnitas.
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a11 x + a 12 y + a 13 y = b1



a x + a y + a y = b
 21
22
13
2

a x + a y + a y = b
 31
32
33
3


El juego consiste en eliminar incógnitas mediante la suma o resta de
ecuaciones. Mediante manipulaciones convenientes vamos...