sistemas lineales

La figura inferior muestra un set de estanques interconectados de manera de garantizar una altura h3 en el estanque circular para lo cual se puede ajustar la señal u. Considere que l = 0.5, k1 = 1, a = 1, k2 = 1.5, r = 1.5, k3 = 2 y que el flujo fe = keu, con ke = 1


Figura #1: Sistema a Analizar.


a) Identifique todas las cantidades involucradas en el sistema y determine las variablesde estado, variables de salida, variables de entrada, perturbaciones y parámetros. Presentar el diagrama de bloques equivalente.

SOLUCIÓN:

Para el sistema anterior, se identifican las siguientes variables:

- Variables de Estado: h1, h2, k1, k2, k3, fs.
- Variables de Salida: h3
- Variables de Entrada: fe
- Perturbaciones: No hay
- Parámetros: r, l, g, a




Figura #2: Diagramade Bloques Equivalente.
b) Obtener el conjunto de ecuaciones diferenciales que describan el comportamiento dinámico del sistema. Asuma que las constantes k1, k2 y k3 incluyen la componente {2g}^1/2; por lo tanto y por ejemplo el flujo salida fs quedaría dado por fs = k3{h3}^1/2.

SOLUCIÓN:

El conjunto de ecuaciones diferenciales que definen el sistema en su comportamiento dinámicocorresponden a las siguientes:

- Para el cubo:

siendo el flujo de entrada
y flujo de salida

área base del cubo
volumen del cubo
relación volumen del cubo con respecto a la altura de éste

entonces,


- Para la pirámide invertida:

siendo el flujo de entrada
y flujo de salida
área base de la pirámided
volumen de la pirámide
relación volumen de la pirámidecon respecto a la altura h2

entonces,


- Para el cilindro:

siendo el flujo de entrada
y flujo de salida

área base del cilindro
volumen del cilindro

relación volumen del cilindro con respecto a la altura h3

entonces,



c) Determine las expresiones para las variables de estado en estado estacionario si la señal u(t) es constante e igual a u0.

SOLUCIÓN:Las expresiones para las variables de estado en estado estacionario (S.S.) para el sistema anterior corresponden a las ecuaciones dinámicas que describen al sistema considerando las derivadas de las alturas con respecto al tiempo como nulas, es decir,

- Para el cubo:



- Para la pirámide:



- Para el cilindro:




Comentarios: Como el sistema esta en estado estacionario (S.S.)las derivadas con respecto a las alturas se hacen cero, así nuestras ecuaciones se hacen mas sencillas de resolver ya que solo queda una igualdad.



d) Obtenga la entrada u00 para tener la altura del estanque cilíndrico en h300 = 1.0 y la entrada u01 para tener para tener la altura del estanque cilíndrico en h301 = 1.3.

SOLUCIÓN:

Para los cálculos a continuación se considera al sistemaen estado estacionario (S.S.), por lo que se utilizarán las ecuaciones que se obtuvieron en la parte c).

- Para tener h300=1.0 de altura en el cilindro:



- Para tener h301=1.3 de altura en el cilindro:



Comentarios: Usando las ecuaciones del punto anterior, el desarrollo de este tópico se limita solamente a hacer un reemplazo de variables.














e) Simule elsistema para una señal u(t) = u00u(t)+(u01-u00)u(t-50). Considere un rango de simulación de 0 ≤ t < 250. Grafique u(t), h1(t), h2(t) y h3(t). Asegúrese de estar en el S.S. para t = 0 dado por u00.

SOLUCIÓN:

Gráficos


Figura #3: Señal de Entrada u(t).
Figura #4: Altura Respectivas.


Comentarios: Los gráficos anteriores muestran el cambio de las alturas de cada estanque.
Con elsistema ya estabilizado se agrega como dato las alturas a las que llega cada estanque.
f) Linealice el modelo en torno al punto de operación dado por u00. Indique las matrices A, B, C, D, E, y F. Simule con los parámetros y rango de simulación anteriores y considere Δu(t) = u(t)-u00. Asegúrese de estar en el S.S. para t = 0 dado por u00. Grafique u(t), h1(t), h2(t) y h3(t).

SOLUCIÓN:

La...