sistemas lineales

Sistemas de Ecuaciones
Lineales

Objetivos
• Resolver sistemas de ecuaciones con dos
variables.
– Método de sustitución
– Método de eliminación

• Aplicaciones y resolución de problemas

Sistema de Ecuaciones
• Sabemos que la gráfica de 3x + 2y = 8 o
la gráfica de y = 4x – 3 es una línea, por
lo tanto ambas rectas representan un
sistema de ecuaciones.
• La solución de un sistemade ecuaciones
es el par ordenado (x, y) que satisface
ambas ecuaciones del sistema.

Tipos de soluciones

Dos líneas que
intersecan en
exactamente un
punto tienen una
solución única.
El sistema es
consistente e
independiente.

Dos líneas
paralelas no
intersecan, por
tanto, no existe
solución.
El sistema es
inconsistente e
independiente.

Dos líneas que
intersecan entodos sus puntos
tienen infinitas
solucines.
El sistema es
consistente y
dependiente.

Tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones
lineales
Número de Soluciones

¿Qué significa
gráficamente?

Exactamente un par
ordenado como solución

Dos líneas que intersecan
en exactamente un punto

Ninguna Solución

Dos líneas paralelas.

Infinitas Soluciones

Dos líneas idénticas.Ejemplos

Sistema de Ecuaciones
Resolviendo Sistemas de Ecuaciones
por Sustitución o Eliminación

El Método de Sustitución
• Un método sin el uso de gráficas para
resolver sistemas de ecuaciones se
conoce como método de sustitución.

El Método de Sustitución
1. Resuelve este sistema:

 2x  y  6

 3x  4 y  4

(1)
(2)

Primero, resolver una de las dos ecuacionespara una de las variables.
Debido a que el coeficiente de y

es 1 en la ecuación (1), es fácil

resolver para2 xy: y  6

y  6  2x

(1)
(3)

El Método de Sustitución
2. Luego, sustituir 6 – 2x por y en la
ecuación (2) y resolver para x:
3x  4 y  4

(2)

3x  4  6  2 x   4
3 x  24  8 x  4
24  5 x  4
 5 x  4  24
 5 x  20
20
x
5
x4

Sustituir 6 – 2xpor y
Multiplicar para remover paréntesis
Combinar términos semejantes

Restar 24

Dividir por -5

El Método de Sustitución
3.

Volver a cualquiera de las dos ecuaciones originales, (1),
(2) o (3) que resolvimos para y.
•
•

Es generalmente mas fácil usar una ecuación como (3), donde se
puede resolver por una variable específica.
Sustituir 4 por x en la ecuación (3) yresolvemos para y.

y  6  2x

y  6  2  4
y  68
y  2
Obtenemos el par ordenado (4, -2).

Es bueno siempre verificar la solución.

El Método de Eliminación
• El método de eliminación para resolver
sistemas de ecuaciones hace uso de el
principio de suma para ecuaciones.

El Método de Eliminación
1. Resuelva este sistema:
2x  3y  0

(1)

 4 x  3 y  1

(2)


La clave de la ventaja del método de eliminación para
resolver este sistema envuelve el -3y en una de las
ecuaciones y 3y en la otra ecuación.
Estos términos son opuestos.
Si lo sumamos, estos términos sumarían 0, y la variable y
sería “eliminada”.

El Método de Eliminación
2. Usar el principio de suma para
ecuaciones, sumando los mismos
números en ambos lados de la ecuación.

ElMétodo de Eliminación
2.

Usar el principio de suma para ecuaciones, sumando
los mismos números en ambos lados de la ecuación.

2x  3y  0
4 x  3 y  1

(1)

2 x  0 y  1
 2 x  0  1
 2 x  1
1
x
2

Sumando

(2)

Se ha eliminado la variable y, razón por la cual se llama
método de eliminación.

El Método de Eliminación
3. Luego sustitur ½ por x en cualquiera delas
ecuaciones y resolver para y:
2x  3y  0
1
2  3 y 0
2
1 3y  0
 3 y  0 1
1
y
3
1
y
3

(1)

Se obtiene el par ordenado:

 1 1
 , 
 2 3
Si se hace la verificación se encuentra
que el par ordenado obtenido es la
solución

El Método de Eliminación
Para poder eliminar una variable,
algunas veces usamos el principio de
multiplicación para multiplicar...