Sistemas Lineales

Sistemas Lineales
Tema 2: Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI)

1.

Introducci´n
o

De las propiedades b´sicas de los sistemas, vistas en el tema anterior, la linealidad
a
y la invarianza en el tiempo juegan un papel fundamental por varias razones:
Muchos procesos f´
ısicos son LTI ⇒ pueden modelarse como sistemas LTI.
Poseen la propiedad de superposici´n (linealidad) ⇒si la entrada a un sistema
o
LTI se puede representar como combinaci´n lineal de un conjunto de se˜ales
o
n
b´sicas (concepto de base de se˜ales), la salida ser´ la misma combinaci´n lineal
a
n
a
o
de las respuestas del sistema a esas se˜ales b´sicas.
n
a
Veremos que cualquier se˜al se puede representar como combinaci´n lineal de
n
o
impulsos unitarios retardados. Esto nospermitir´ caracterizar cualquier sisa
tema LTI mediante su respuesta al impulso unitario.
Esta representaci´n se conoce como suma de convoluci´n (sistemas LTI diso
o
cretos) o integral de convoluci´n (sistemas continuos) y proporciona una gran
o
comodidad al tratar los sistemas LTI.
Ejemplo:
y1 (t)

x1 ( t )
1

LTI

1
t

t
0

1

0

2

x2 ( t )
1

LTI

2

4

t

0
−1x3 ( t )
2
LTI

1
t
0

1

2

3

x4 ( t )
2
LTI

t
0

2

4

1

1

2

2.

Caracterizaci´n de los sistemas LTI discretos: la
o
suma de convoluci´n
o

Caracterizar un sistema: si para cada entrada podemos calcular la salida del
sistema.
Vamos a buscar un procedimiento an´logo al algebra de espacios vectoriales:
a
´
Vectores de la base: {x1 , x2 , x3 , x4 }Cualquier vector del espacio vectorial se podr´ poner como cierta combinaci´n lineal
a
o
de los vectores de la base:
x = α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + α4 x4 .
De forma similar, si el sistema es lineal, puedo obtener la salida como la misma combinaci´n lineal de las salidas conocidas para cada uno de los vectores de la base, yi .
o
Trataremos a continuaci´n de obtener una base de un espacio parael espacio de las
o
se˜ales, de dimensi´n infinita1 .
n
o

2.1.

Representaci´n de se˜ ales discretas en t´rminos de imo
n
e
pulsos

Utilizaremos como base para las se˜ales discretas el impulso unitario discreto y sus
n
versiones desplazadas, que vale “0” en todos los puntos, salvo en uno, que vale “1”.
δ [n] =

1, n = 0,
0, n = 0.
δ [n ]
1
n

−3 −2 −1

0

1

2

3Aplicando desplazamientos en el tiempo:
δ [n − 2]

δ [n + 2]
1

1
n

−3 −2 −1

0

1

2

n
−3 −2 −1

3

1

0

1

2

3

Las se˜ales tienen una longitud infinita, o valores en un conjunto infinito de instantes de la
n
variable independiente.

2

y cambios de nivel:
Kδ [n]
K
n
−3 −2 −1

0

1

2

3

podemos escribir cualquier se˜al x[n] comocombinaci´n lineal de impulsos desplazados:
n
o
x[n]

x[−2]δ [n + 2]

1

2

n

1

1

n
−3 −2 −1

0

−2

1

2

x[1]δ [n − 1]

−3 −2 −1

0

2

−3 −2 −1

3

0

−1

1

2

3

−1

x[−1]δ [n + 1]

2

3

1

n

x[2]δ [n − 2]
1
n

−3 −2 −1

0

1

2

n
−3 −2 −1

3

0

1

2

3

x[0]δ [n]
n
−3 −2 −1

0

1

2

3

−2

x[n]= x[−2]δ [n + 2] + x[−1]δ [n + 1] + x[0]δ [n] + x[1]δ [n − 1] + x[2]δ [n − 2].

En general, podemos representar una se˜al discreta arbitraria como combinaci´n lineal
n
o
de impulsos desplazados δ [n − k ] con pesos x[k ]:
x[n] =

∞
k=−∞

x[k ]δ [n − k ]

Propiedad de selecci´n de δ [n].
o

Ejemplo: escal´n unitario, u[n]:
o
u[n] =

0, n < 0,
1, n ≥ 0.

⇒

u[n] =

∞
k=0δ [n − k ].

Expresi´n ya conocida.
o

2.2.

Respuesta al impulso unitario discreto y representaci´n
o
de la suma de convoluci´n de sistemas LTI
o

A partir de la propiedad de selecci´n del impulso unitario, podemos obtener la
o
salida de un sistema LTI aprovechando las propiedades de linealidad e invarianza
en el tiempo.

3

Consideramos un sistema lineal (posiblemente...