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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS. GESTIÓN AMBIENTAL Y SERVICIOS PÚBLICOS CÁLCULO INTEGRAL 2012-03 Tema – DERIVADAS 1. La posición de un punto P que se mueve sobre una recta coordenada l está dada por s( t ) = t 3 con t en segundos y s (t) en centímetros. a) Calcule la velocidad media de P en los siguientes intervalos de tiempo: i) ii) iii) iv) b) c) d) 2.

[1, 1.2] [1, 1.1] [1,1.01] [1, 1.001]

Calcule la velocidad de P en t = 1. Determine los intervalos de tiempo en los que P se mueve en la dirección positiva. Determine los intervalos de tiempo en los que P se mueve en la dirección negativa.

Un aeronauta de globo suelta un saco de lastre desde un aerostato que se encuentra a 160 pies del suelo. A los t segundos el lastre está a 160 − 16 t 2 pies del suelo. a) b)Calcule la velocidad del saco para t = 1. ¿Qué velocidad tiene el saco cuando llega al suelo?

3.

Se dispara un proyectil directamente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 40 m s . Su distancia sobre el suelo a los t segundos es 40 t − 4.5t 2 metros. a) b) c) d) e) f) ¿Cuál es la velocidad del proyectil en t = 2? ¿Cuál es la velocidad del proyectil en t = 3? ¿Cuál es la velocidad delproyectil en t = 4? ¿En qué momento alcanza su altura máxima? ¿Cuándo choca contra el suelo? ¿Cuál es la velocidad al chocar contra el suelo?

1

4.

Un atleta corre los 100 metros planos de manera que la distancia s (t) que ha recorrido a los t segundos está dada por (1 5) t 2 + 8t metros. Calcule la velocidad del corredor: a) b) c) En el momento de la salida. A los 5 segundos de lasalida. Al cruzar la meta.

5. 6.

Ca lc u la r e l in c re me n t o d e l á re a de l c u a d ra do d e 2 m d e lad o , c u a nd o aum e nt amo s 1m m s u lad o . Un cuadrado tiene 2 m de lado. Determínese en cuánto aumenta el área del cuadrado cuando su lado lo hace en un milímetro. Calcúlese el error que se comete al usar diferenciales en lugar de incrementos.

7. 8.

Ha lla r la va ria c ión d e vo lu m en qu e e xp e rim e nt a un c u b o , de a ris t a 2 0 c m, c ua nd o é st a a um e nt a 0. 2 c m s u lon git u d . Ca lc u la e l e rro r ab s o lu to y re la t ivo c o m et id o en e l cá lc u lo d e l vo lu m e n de u na es f e ra d e 1 2 .5 1 m m d e d iám et ro , me d id o c o n un in s t ru me n t o qu e ap re c ia m ilé s im a s de c e nt ím e t ro .

Encuentre la ecuaciónde la recta tangente en el punto P(2, f (2)) para: 9. 11. f ( x) = 5 x 2 − 4 f ( x) = x 3 10. 12. f ( x) = 3 − 2 x 2 f ( x) = x 4

13. Siendo y = 3 x − 2 ; P (1, 2) : a) b) c) Grafique la ecuación. Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto P. Trace la gráfica de la recta tangente en P

14. Siendo y = x ; P(4, 2) : a) b) c) Grafique la ecuación. Encuentre la ecuación de la rectatangente en el punto P. Trace la gráfica de la recta tangente en P

15. Siendo y = 1 x ; P(2, 1 2) : a) b) c) Grafique la ecuación. Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto P. Trace la gráfica de la recta tangente en P
2

16. Siendo y = x −2 ; P(2, 1 4) : a) b) c) Grafique la ecuación. Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto P. Trace la gráfica de la rectatangente en P

Derive las siguientes funciones: 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33.
f ( x ) = 10 x 2 + 9 x − 4 f ( s ) = 15 − s + 4s 2 − 5 s 4 g( x ) = ( x 3 − 7 )( 2 x 2 + 3 ) h( r ) = r 2 ( 3 r 4 − 7 r + 2 )

18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 32. 34.

f ( x ) = 6 x3 − 5 x2 + x + 9 f ( t ) = 12 − 3t 4 + 4t 6 k ( x ) = ( 2 x 2 − 4 x + 1 )( 6 x − 5 ) g( s ) = ( s 3 − 5 s + 9 )( 2 s + 1 )
h( x ) = 8 x 2− 6 x + 11 x −1

f(x) =

4x − 5 3x + 2
8 − z + 3z2 2 − 9z

h( z ) =

f (w ) =

2w w3 −7

f ( x ) = 3 x3 − 2 x2 + 4x − 7

g( z ) = 5 z 4 − 8 z 2 + z

F (t ) = t 2 + (1 t 2 )
g( x ) = ( 8 x 2 − 5 x )(13 x 2 + 4 )
v3 −1 v +1 1 1+ x + x + x
2 3 3

s ( x) = 2 x + (2 x) −1
H ( y ) = ( y 5 − 2 y 3 )(7 y 2 + y − 8 )
8 t + 15 t − 2t + 3
2

35. G( v ) = 37. f ( x ) = 39. 41. 43....