solidos platonicos

Los sólidos
platónicos
Historia, Propiedades y Arte
Carlos Quesada
20/12/2006

INDICE

I
ntroducci … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 2
ón
Elori de l sóldos pl
gen
os i
atóni … … … … … … … … … … … … … … … . pág. 3
cos
.
D efni ón de sóldo pl
i ci
i
atóni … … … … … … … … … … … … … … … … … … . pág. 6
co
Propiedades
D i ensi
m
ones f
undam ental …… … … … … … … … … … … … … … … … pág. 8
es
Simetría … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 10
Dualidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..... pág. 11
.....
Propiedades combinatorias y fórmula de Euler … … … … … … . pág. 12
Sem i
rregul dad y otros sóldos … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 15
ari
i
Los sólidos en la naturaleza, tecnología yarte … … … … … … … … … .pág. 19
Concl ón … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . pág. 28
usi
.
Anexo I: Las proposiciones de los El entos … … … … … … … … … … .pág. 29
em
Anexo II: Imágenes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … pág. 39
Bibliografía … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .pág. 40

2

INTRODUCCIÓN
En muchas ocasiones unobjeto complejo e importante en el mundo
de las matemáticas traspasa las fronteras de la misma, siendo conocido
por personas ajenas a esta disciplina. Es el caso de los sólidos platónicos.

Cinco poliedros -el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e
icosaedro - tienen unas determinadas propiedades que los hacen
especialmente interesantes y bonitos. Tal vez no todo el mundo sabría
decir apriori cuales son los sólidos platónicos, y menos aún dar una
definición, pero sin duda los reconocerían, si los tuvieran delante. A lo
largo de este trabajo recorreremos la historia de estos distinguidos
poliedros, sus primeras apariciones, cuándo se comenzaron a considerar
objetos matemáticos, porqué son solamente cinco y no más, su relevancia
en la actualidad... Después profundizaremos más enla geometría y
matemática de los sólidos, estudiando detalladamente sus propiedades, y
analizaremos otros sólidos de características similares e igual belleza, los
sólidos de Arquímedes, Kepler y Catalán. Por último, veremos sus
aplicaciones fuera de las matemáticas, y la gran cantidad de apariciones
que tienen estas figuras en el arte, en muchos pintores de diferentes
épocas, y tal vez asílleguemos a entender por qué son unos elementos
que nos resultan tan familiares. Para ello nos habremos topado con libros
como los Elementos de Euclides, y hablaremos de genios como
Arquímedes, Kepler, Escher, Leonardo da Vinci, Luca Pacioli,Eul
er…
3

EL ORIGEN DE LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
El origen de los sólidos platónicos como elemento para ser
estudiado por las matemáticas se halla sinduda, en la antigua Grecia. Son
los griegos quienes por primera vez entienden que esos poliedros han de
ser estudiados. Sin embargo para que cualquier cultura se plantee
estudiar algo en un determinado momento de su historia, tienen que
conocerlo con anterioridad, e incluso, con mucha anterioridad. Y este es,
en concreto, el caso de los sólidos platónicos.
La primera noticia que se conocesobre estos poliedros, procede de
un yacimiento neolítico en Escocia, donde se encontraron figuras de barro
de aproximadamente 2000 a.C. Se cree que se trataba de elementos
decorativos o, tal vez, de algún tipo de juego.

Es evidente que no había ninguna comprensión matemática de
estos objetos, pero ya tenían identificados exactamente los cinco sólidos.
Es probable que tampoco se preguntasensi había más sólidos o, en todo
caso, era algo que no les preocupaba lo suficiente como para estudiarlo a
conciencia.
En esa época, más o menos, se construyen las pirámides en Egipto.
No tienen la forma exacta del tetraedro, pues la base es cuadrada; las
pirámides presentan la forma de octaedros cortados por la mitad. El
hecho aislado de que se utilice esta forma para la construcción de un...