Solucion de pro

Un Peque˜o Manual n para la Resoluci´n de Problemas o
Francisco Javier Garc´ Capit´n ıa a pacoga@ctv.es Priego de C´rdoba, 9 de Noviembre de 2002 o

´ Indice general
1. Miscel´nea de problemas a 2. Soluciones de los problemas 2.1. N´mero natural y entero. Divisibilidad. u 2.2. Ecuaciones diof´nticas. . . . . . . . . . a 2.3. Congruencias. . . . . . . . . . . . . . . 2.4. El m´todo deinducci´n. . . . . . . . . e o 2.5. El principio del palomar. . . . . . . . . 2.6. Progresiones y sucesiones. . . . . . . . 2.7. Combinatoria. . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Introducci´n a la probabilidad. . . . . o 2.9. Trigonometr´ y tri´ngulos. . . . . . . ıa a 2.10. Polinomios. Ecuaciones polin´micas. . o 2.11. Construcciones con regla y comp´s. . . a 2.12. La circunferencia. . . . . . . . . . . . .2.13. N´meros complejos. . . . . . . . . . . . u 2.14. Ecuaciones funcionales. . . . . . . . . . 2.15. Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 6 7 11 12 13 14 16 17 18 19 20 22 24 25 26

Cap´ ıtulo 1 Miscel´nea de problemas a
Los problemas propuestos en las Olimpiadas Matem´ticas plantean cuesa tiones que normalmente no se ven en los temarios escolares. La siguiente relaci´n consta de problemassobre algunos de los temas m´s frecuentes. Hay o a algunos temas m´s y habr´ que poner m´s problemas de cada tema para tea ıa a ner una idea m´s global del tipo de problemas que podemos encontrarnos en a Olimpiadas, pero entonces la lista se har´ demasiado grande para empezar. ıa N´mero natural y entero. Divisibilidad. u 1. Encontrar un n´mero de 4 cifras de la forma aabb que sea cuadrado uperfecto. 2. Hallar los pol´ ıgonos regulares cuyos ´ngulos miden un n´mero entero a u de grados. Ecuaciones diof´nticas. a 3. Un hombre compr´ doce piezas de fruta (manzanas y naranjas) por 99 o c´ntimos. Si una manzana cuesta 3 c´ntimos m´s que una naranja, y e e a compr´ m´s manzanas que naranjas, ¿cu´ntas de cada compr´? o a a o 4. Un hombre cobra un cheque por d d´lares y c centavos en un banco. oEl cajero, por error, le da c d´lares y d centavos. El hombre no se o da cuenta hasta que gasta 23 centavos y adem´s observa que en ese a momento tiene 2d d´lares y 2c centavos. ¿Cu´l era el valor del cheque? o a

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Congruencias. 5. Demuestra que si n es un entero impar, entonces n2 ≡ 1 (m´d 8). o 6. Halla el resto de dividir 2384292 entre 7. El m´todo de inducci´n. e o 7. Demostrar, quepara cualquier n, 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) . 6

8. Demostrar que para todo n entero positivo, el n´mero 3n − 2n2 − 1 es u m´ltiplo de 8. Probar adem´s que, si n no es m´ltiplo de 3, entonces u a u n 2 3 − 2n − 1 es m´ltiplo de 24. u El principio del palomar. 9. Supongamos que tenemos 27 n´meros impares menores que 100. Enu tonces hay al menos un par de ellos cuya suma es 102. 10. Sielegimos n + 1 n´meros entre 1 y 2n es siempre posible encontrar u dos de ellos tales que uno divide al otro. Progresiones y sucesiones. 11. En un c´ ırculo de radio R se inscribe un cuadrado; en el cuadrado, un c´ ırculo y as´ sucesivamente. Hallar la suma de las ´reas de los c´ ı a ırculos y la de los cuadrados. 12. Hallar tres n´meros naturales en progresi´n aritm´tica de diferencia 2, u o etales que la suma de sus cuadrados sea un n´mero de 4 cifras iguales. u Combinatoria. 13. ¿De cu´ntas formas se puede elegir un comit´ de 3 personas de un grupo a e de 20? ¿Y de cu´ntas si uno debe ser el presidente, otro el vicepresidente a y el tercero el secretario?

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14. ¿Cu´ntas iniciales diferentes podemos hacer con dos o tres letras del a alfabeto? ¿Cu´ntas letras deber´ tener el...