Solucion integral raiz de tanx

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    Solución: Se hace la sustitución . Entonces  y . Derivando. De esta manera:  se puede factorizar de la siguiente forma:  .  Así la integral se puede expresar como:  Losdiscriminantes de los dos factores cuadráticos que aparecen en el denominador del integrando son:   |
 Así que son factores cuadráticos irreducibles. Planteamos entonces la siguiente ecuación parahacer la descomposición en fracciones parciales:  Entonces  Desarrollando y agrupando se tiene: |
Lo que conduce al siguiente sistema de ecuacioneslineales:                                                                                                                                                                Remplazando [1] en la ecuación [3] y remplazando [4] en la ecuación [2], el sistema se reduce a:                                                                                                                             Por la ecuación [1] . Entonces la ecuación [5] conduce a que  y así:  y . De una manera semejante, por la ecuación [4] . Entonces laecuación [6] conduce a que  y así  . Por lo tanto, volviendo atrás, nuestra integral se convierte en:   |
Consideremos por separado estas dos integrales. La primera es:  Para integrar esta expresiónutilizamos la técnica de completar el cuadrado:  Ahora hacemos la sustitución . Por lo tanto  y además . De esta manera la integral se convierte en: .  |
Separamos esta integral nuevamente en dos:  Laprimera de estas integrales es:  Que puede integrarse con la sustitución simple , por lo que . Así que:  Para restituir todas las sustituciones, procedemos de la siguiente manera:  La segunda de lasintegrales de es: . |
 Esta expresión se integra fácilmente con la fórmula de arcotangente: . Y restituyendo todas las sustituciones:  La segunda parte de la integral original, esto es , se integra deuna manera completamente similar a la anterior. Se separa en dos integrales. Sólo hay que tener en cuenta el cambio de...