Solucionario de calculo

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Solutions to the exercises from T.M.Apostol, Calculus, vol. 1 assigned to doctoral students in years 2002-2003
andrea battinelli dipartimento di scienze matematiche e informatiche “R.Magari” dell’università di Siena via del Capitano 15 - 53100 Siena tel: +39-0577-233769/02 fax: /01/30 e-mail: battinelli @unisi.it web: http//www.batman vai li December 12, 2005

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Contents
I Volume 1 1
35 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 25 25 25 25 25 25 26 27 28 28

1 Chapter 1 2 Chapter 2 3 Chapter 3 4 Chapter 4 5 Chapter 5 6 Chapter 6 7 Chapter 7 8 Chapter 8 9 Chapter 9 10 Chapter 10 11 Chapter 11 12 Vector algebra 12.1 Historical introduction . . . . . . . . . . . . 12.2 The vector space of n-tuples of real numbers 12.3 Geometric interpretation for n ≤ 3 . . . . . 12.4 Exercises . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 12.4.1 n. 1 (p. 450) . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 n. 2 (p. 450) . . . . . . . . . . . . . 12.4.3 n. 3 (p. 450) . . . . . . . . . . . . . 12.4.4 n. 4 (p. 450) . . . . . . . . . . . . . 12.4.5 n. 5 (p. 450) . . . . . . . . . . . . . 12.4.6 n. 6 (p. 451) . . . . . . . . . . . . .

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CONTENTS

12.4.7 n. 7 (p. 451) . . . . . . . . . . . . . . 12.4.8 n. 8 (p. 451) . . . . . . . . . . . . . . 12.4.9 n. 9 (p. 451) . . . . . . . . . . . . . .12.4.10 n. 10 (p. 451) . . . . . . . . . . . . . 12.4.11 n. 11 (p. 451) . . . . . . . . . . . . . 12.4.12 n. 12 (p. 451) . . . . . . . . . . . . . 12.5 The dot product . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Length or norm of a vector . . . . . . . . . . . 12.7 Orthogonality of vectors . . . . . . . . . . . . 12.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.1 n. 1 (p. 456) . . . . . . . . .. . . . . 12.8.2 n. 2 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . . 12.8.3 n. 3 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . . 12.8.4 n. 5 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . . 12.8.5 n. 6 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . . 12.8.6 n. 7 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . . 12.8.7 n. 10 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . 12.8.8 n. 13 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . 12.8.9 n. 14 (p. 456) . . . . . . . . . . . . .12.8.10 n. 15 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . 12.8.11 n. 16 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . 12.8.12 n. 17 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . 12.8.13 n. 19 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . 12.8.14 n. 20 (p. 456) . . . . . . . . . . . . . 12.8.15 n. 21 (p. 457) . . . . . . . . . . . . . 12.8.16 n. 22 (p. 457) . . . . . . . . . . . . . 12.8.17 n. 24 (p. 457) . . . . . . . . . . . . . 12.8.18n. 25 (p. 457) . . . . . . . . . . . . . 12.9 Projections. Angle between vectors in n-space 12.10 The unit coordinate vectors . . . . . . . . . . 12.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11.1 n. 1 (p. 460) . . . . . . . . . . . . . . 12.11.2 n. 2 (p. 460) . . . . . . . . . . . . . . 12.11.3 n. 3 (p. 460) . . . . . . . . . . . . . . 12.11.4 n. 5 (p. 460) . . . . . . . . . . . . .. 12.11.5 n. 6 (p. 460) . . . . . . . . . . . . . . 12.11.6 n. 8 (p. 460) . . . . . . . . . . . . . . 12.11.7 n. 10 (p. 461) . . . . . . . . . . . . . 12.11.8 n. 11 (p. 461) . . . . . . . . . . . . . 12.11.9 n. 13 (p. 461) . . . . . . . . . . . . . 12.11.10 n. 17 (p. 461) . . . . . . . . . . . . . 12.12 The linear span of a finite set of vectors . . .

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