solucionario unidad 1

Solucionario: Unidad 1 - L´ımites y Continuidad
Edgar Bar´on
Luisa Fernanda Mart´ınez Rojas
Polit´ecnico Grancolombiano
eabaronp@poligran.edu.co
lfmartinezr@poli.edu.co
Bogot´a, 2014

Solucionario: Unidad 1 - L´ımites y Continuidad

Ejercicios 1.

Secci´
on 1: Introducci´
on
Estimado Estudiante
Esta lectura llamada ”solucionario”, se elabor´
o con el objetivo de ser un apoyo en el proceso de suautoaprendizaje. En
este documento encontrar´
a la soluci´
on a los ejercicios planteados en la unidad No. 1 (semanas 1 y 2) que corresponde a
”L´ımites y Continuidad,”debes tener en cuenta que el procedimiento para llegar a la soluci´on aqu´ı planteada no es u
´nico.
Les recomiendo que antes de ver las soluciones, hayas intentado realizar los ejercicios, con el fin de que se enfrente a losejercicios, los an´
alice y trate de plantear la soluci´
on y en el caso que hayas cometido alg´
un error puedas identificarlo y corregirlo.
Muchos ´exitos en su estudio.

Secci´
on 2: Ejercicios 1.
Hallar los siguientes l´ımites:
x−5
x2 − 25
Soluci´
on

1. l´ım

x→5

x−5
− 25
x−5
l´ım
x→5 (x − 5)(x + 5)
1
l´ım
x→5 (x + 5)
1
1
=
(5 + 5)
10
l´ım

x→5 x2

Factorizando el denominador.
Aplicando diferenciade cuadrados a2 − b2 = (a − b)(a + b).
Simplificando (x − 5).
reemplazo x = 5 y obtenemos el resultado.

x2 + 3x − 10
x→−5
x+5
Soluci´
on

2. l´ım

x2 + 3x − 10
x→−5
x+5
(x + 5)(x − 2)
l´ım
x→−5
(x + 5)
l´ım (x − 2)
l´ım

x→−5

−5 − 2 = −7

t2 + t − 2
t→5
t2 − 1

3. l´ım

1

Factorizando el numerador.
Un trinomio x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2).
Simplificando (x + 5).
reemplazo x = −5 y obtenemos elresultado.

Solucionario: Unidad 1 - L´ımites y Continuidad

Ejercicios 1.

Soluci´
on
t2 + t − 2
t→5 t2 − 1
(t + 2)(t − 1)
l´ım
t→5 (t − 1)(t + 1)
l´ım

Factorizando el numerador y denominador.
el numerador es un trinonio x2 + bx + c,
denominador una diferencia de cuadrados
a2 − b2 = (a − b)(a + b).

(t + 2)
+ 1)
7
(5 + 2)
=
(5 + 1)
6
l´ım

t→5 (t

Simplificando (t − 1).
reemplazo t = 5 yobtenemos el resultado del l´ımite.

−2x − 4
x3 + 2x2
Soluci´
on

4. l´ım

x→−2

−2(x + 2)
x→−2 x2 (x + 2)
−2
l´ım
x→−2 x2
−2
l´ım
x→−2 (−2)2
−1
−2
=
4
2
l´ım

Aplicando factor com´
un al numerador y denominador
simplificando (x + 2)
reemplazo x = −2
Resultado del l´ımite simplificado

u4 − 1
u→1 u3 − 1
Soluci´
on

5. l´ım

(u2 − 1)(u2 + 1)
u→1 (u − 1)(u2 + u + 1)
l´ım

Factorizando numerador ydenominador. Numerador diferencia de cuadrados
y denominador una diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

2

(u − 1)(u + 1)(u + 1)
u→1 (u − 1)(u2 + u + 1)
l´ım

Aplicando nuevamente diferencia de cuadrados en el numerador
u2 − 1 = (u − 1)(u + 1)

2

(u + 1)(u + 1)
u→1 (u2 + u + 1)
(1 + 1)(12 + 1)
(2)(2)
4
=
=
2
(1 + 1 + 1)
3
3
l´ım

√
6. l´ım

x→9

2

x−3
x−9

simplificando (u − 1)reemplazando por 1 y as´ı obtenemos el resultado del l´ımite

Solucionario: Unidad 1 - L´ımites y Continuidad

Soluci´
on

Ejercicios 1.

√

x−3
x−9
√
√
x−3
x+3
l´ım
·√
x→9 x − 9
x+3
√
√
( x − 3)( x + 3)
√
l´ım
x→9 (x − 9)( x + 3)
(x − 9)
√
l´ım
x→9 (x − 9)( x + 3)
1
l´ım √
x→9 ( x + 3)
1
1
√
=
6
( 9 + 3)
l´ım

multiplicando por el conjugado numerador y denominador

x→9

el conjugado del numerador es

√x+3

realizando operaciones
en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados
simplificamos (x − 9)
reemplazamos x = 9 y as´ı obtenemos el resultado del l´ımite

x−1
x+3−2
Soluci´
on
x−1
l´ım √
x→1 x + 3 − 2
√
x+3+2
x−1
l´ım √
·√
x→1 x + 3 − 2
x+3+2
√
(x − 1)( x + 3 + 2)
√
l´ım √
x→1 ( x + 3 − 2)( x + 3 + 2)
√
(x − 1)( x + 3 + 2)
l´ım
x→1
(x + 3) − 4)
√
(x − 1)( x + 3 + 2)
l´ım
x→1
(x − 1)
√l´ım ( x + 3 + 2)
x→1
√
√
1+3+2= 4+2=2+2=4

7. l´ım √
x→1

multiplicando por el conjugado numerador y denominador
el conjugado del denominador es

√

x+3+2

realizando operaciones
en el denominador tenemos una diferencia de cuadrados
realizando operaciones en el denominador
simplificando (x − 1)
reemplazamos x = 1y as´ı obtenemos el resultado del l´ımite

3h
3h + 1 + 1
Soluci´
on

8. l´ım √
h→0...