Suceciones

Lección de sucesiones

Objetivos: 1. Definir sucesiones mediante la expresión del término general o por una ley de recurrencia. 2. Representación graficas de las sucesiones y tabulador 3. Captar el significado de los puntos de acumulación.(Definir punto de acumulación.) 4. Definir la convergencia de una sucesión. 5. Clasificar las sucesiones a tendiendo al carácter de convergente o divergente.6. Distinguir, entre las sucesiones no convergentes, el comportamiento divergente hacia el infinito y oscilante. 7. Aprender a calcular los límites de ciertas sucesiones. 8. Comprender el comportamiento de sucesiones con término general racional u otros tipos especiales. 9. Definir el número e como limite de una sucesión convergente. 10. Calcular límites asociados al número e.

Procedimientos yactividades: 1. Construcción de sucesiones dando su término general o su ley de recurrencia. 2. Descripción del termino general a la vista de una sucesión 3. Localizar los puntos de acumulación, finitos o no, de sucesiones sencillas. 4. Visión intuitiva acerca de la convergencia o divergencia de sucesiones marcando los términos de la sucesión en la recta real y en el plano cartesiano. 5.Utilización de las propiedades de los límites.

Sucesiones De la gran variedad de funciones de variable real que se presentan en matemática, unt

Definición de sucesión: i) Una sucesión es una función que asocia a cada número natural n uno y sólo un número real f (n)
ii) Una sucesión es una función con dominio los números naturales y recorrido números reales. Es decir, escribiendo en forma simbólicase tiene: f : IN → IR 1 → f (1) = a1 ∈ IR 2 → f ( 2) = a 2 ∈ IR 3 → f (3) = a 3 ∈ IR .......... .......... .......... .......... .......... .......... . n → f ( n ) = a n ∈ IR .......... .......... .......... ..... los

La imagen de n = 1 , le corresponde f (1) = a1 es el primer término de la sucesión, así la imagen de n = 2 , le asocia f (2) = a 2 es el segundo término de la sucesión, para laimagen n = 3 , le corresponde f (3) =a 3 es el tercer de la sucesión,….., la imagen de n , le asocia f (n) = a n se el n-ésimo término de la sucesión, llama término general de la sucesión.

Notaciones de sucesiones Usualmente una sucesión de denota por (a n )n∈IN o simplemente por (a n ) entendiendo que su dominio son los números naturales o también el las siguientes formas ∞ , (a1 , a 2 , a3,....a n , .........) , {a n }n∈IN , {a n } , {a n }n =1 o {a1 , a 2 , a3 ,........, a n ,.....} .

El recorrido de la sucesión (a n ) , usualmente se denota por {a n : n ∈ IN } . Otra forma de presentar una sucesión es por recurrencia; en este caso se presentan los primeros r términos de la sucesión para algún número natural r, cada uno de los siguientes términos se define con una función de uno omás términos genérico de la sucesión anterior. En general, dado a1 , a n esta definida por a n = g (a n −1 ), n ≥ 2 ; o bien dados los siguientes términos a1 y a 2 , a n se define por a n = g a n −1 , a n − 2 ; n ≥ 3 , y así sucesivamente.

(

)

Ejemplo:

Dadas

las

siguientes

sucesiones:

{a n }n∈IN =

⎛1⎞ , {a n }n∈IN = ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ n∈IN

⎛ n ⎞ ⎛ π⎞ y {a n }n∈IN = sen⎜ n ⎟ ⎜⎟ ⎝ n + 1 ⎠ n∈IN ⎝ 2 ⎠ n∈IN

Ejemplo La sucesión de Fibonacci (matemático, italiano hacia 1175-1250) al estudiar la procreación de los conejos (a n )n∈IN con a1 = 1 , a 2 = 1 y para n ≥ 3, a n = (a n − 2 + a n −1 ) cualquier término de la sucesión después del segundo es la suma de los dos que le preceden. La sucesión de Fibonacci es una sucesión descrita por recurrencia.(James Stewart, pag.694).

Describir y representar gráficamente una sucesión Gráfica de una sucesión
Los términos de una sucesión se pueden representar gráficamente una sucesión por medios ⎛1⎞ de puntos en la recta real. Por ejemplo a) la sucesión ⎜ ⎟ (ver Fig 1) ⎝ n ⎠ n∈IN

Fig. 1 Muestra los valores de la sucesión anterior para n = 1, se tiene el primer termino 1 que corresponde a1 = 1 , n=2 es el segundo...