Sucesiones Matemáticas

SUCESIONES
SINTESIS TEORICA:

I.- Sucesión:

➢ Una sucesión o secuencia, es una ordenación o progresión de términos, [pic]formada de acuerdo con alguna regla fija.

➢ Es un conjunto infinito de valores de una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales [pic] y cuyo contradominio o recorrido es un subconjunto de los números reales R.[pic]

II.- SERIES:

➢ Es la suma indicada [pic] de los términos de una secuencia.

En general, podemos decir que:

• una sucesión está definida por una expresión con una variable que toma valores naturales de 1 en adelante y en forma sucesiva, obteniéndose así los términos de la sucesión.

• no es más que una ordenación de números pero que no siempre tienen una reglade formación o término general.

• una sucesión finita o una serie finita tiene un número definido o especificado de términos.
Ejemplo; [pic] es una sucesión finita

[pic] es una serie finita

• una sucesión infinita o una serie infinita tiene un número indefinido o no especificado de términos.
Ejemplo; [pic] es una sucesión infinita.

[pic] es una serie infinita

•está bien definida cuando se conocen o es posible conocer cada uno y todos sus términos, deduciendo previamente su término general.

• las series infinitas son esenciales para evaluar y definir diversas funciones de frecuente aplicación en las distintas áreas de estudio.

• una sucesión se dice que es una progresión aritmética (PA) si la diferencia entre cualquier término y el anterior es lamisma a lo largo de toda la sucesión. Esta diferencia se denota por d. Si a es el primer término y d la diferencia común de una PA, los términos sucesivos de la PA son;
[pic]

• el término general, o n-ésimo de una sucesión o serie indica la regla o fórmula para obtener los términos.
Ejemplo; [pic] es el término n-ésimo o término general

• el n-ésimo términode una PA está dado por la fórmula [pic]

• sea [pic] la suma de n términos de una PA dada por
[pic]

• para definir el término general de algunas sucesiones no es suficiente conocer solo los tres primeros términos.

• otro método de especificación de los términos de una sucesión o una serie es mediante una fórmula de recurrencia la cuál da el término [pic].Ejemplo:
Sea 1,2,6,24,120,…una sucesión infinita

puede especificarse mediante el término general [pic]

o bien por la fórmula de recurrencia [pic]

donde [pic] es el término n-ésimo y [pic] es el término[pic][pic]

• Sea P una cantidad de dinero invertida a una tasa de interés anual del R por ciento. En un año la cantidad de interés ganada está dada por[pic]. Si la inversión es a interés simple, debe agregarse una cantidad I a su valor al término de cada año. La sucesión de valores anuales de la inversión es [pic]y después de t años el valor está dado por [pic]

• Sucesión recurrente: se define considerando su primer término [pic] y una expresión para [pic], en función del enésimo término [pic].

• muchas sucesiones se especifican de maneramás conveniente por medio de una fórmula recursiva que mediante un término general, en cambio otras se definen por un término general, pero los términos adicionales se obtienen más fácilmente por la recurrencia.

• una sucesión finita debe tener una suma finita, pero una sucesión infinita, puede ser finita o infinita.

Ejemplo:
Sea [pic] la suma de los primeros n términos de una sucesióninfinita [pic]
[pic]

y si S representa el límite de [pic] cuando [pic], entonces

[pic]

• si el límite S existe de manera finita, la serie es convergente, y converge al valor S.

• si el límite no existe de modo finito. La serie infinita es divergente. La divergencia puede ocurrir debido a que cuando [pic] se hace infinita, o bien, debido a que [pic]oscila sin...