Sucesiones y progresiones

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

CALCULO DIFERENCIAL

TRABAJO COLABORATIVO 1 SUCESIONES Y PROGRESIONES

LUIS FRANCISCO GUTIERREZ MENDOZA NILSON JAVIER BECERRA SANCHEZ GRUPO 100410_194

AGOSTO DE 2010

INTRODUCCION

El estudio de sucesiones, vecindad y progresiones, es un acercamiento al concepto de límites que veremos en la siguiente unidad, por lo cual es indispensable amanera de introducción, asimilar estos conocimientos con el objetivo de entrar a la temática de límites con unos elementos cognitivos mínimos. A continuación desarrollaremos el taller propuesto en la guía con el ánimo de abordar de manera práctica los conceptos de sucesiones y progresiones.

OBJETIVOS



Aproximarnos al concepto de límites y continuidad a través del estudio de sucesiones yprogresiones.



Aplicar los conocimientos adquiridos en la primera unidad mediante la resolución de los ejercicios propuestos.



Interactuar como grupo colaborativo de manera eficiente.

DESARROLLO DEL TRABAJO COLABORATIVO
1. Hallar los 6 primeros términos de las siguientes sucesiones:

a.

Un = (n - 1)n-1 donde n ≥ 2

n1 = (2 – 1)(2 -1) = (1)1 = 1 n2 = (3 – 1)(3-1) = (2)2 =4 n3 = (4 – 1)(4-1) = (3)3 = 27 n4 = (5 – 1)(5-1) = (4)4 = 256 n5 = (6 – 1)(6-1) = (5)5 = 3.125 n6 = (7 – 1)(7-1) = (6)6 = 46.656

b.

Vn = ( )=3 )=3 )=3 )=3 )=3 )=3

) donde n ≥ 1

n1 = ( n2 = ( n3 = ( n4 = ( n5 = ( n6 = (

2. Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia:

a. Uo = -1 ; Un = Un-1 – 3 Conociendo el primer término y la relación derecurrencia, obtenemos 3 términos más para analizar la sucesión.

n1 = -1 n2 = -1 – 3 = -4 n3 = -4 – 3 = -7 n4 = -7 – 3 = -10

Observamos que la relación de recurrencia es igual a restar al término anterior el valor de -3, esto es característico de una Progresión Aritmética, y su término general está dado por: an = a1 (n – 1) . d Donde a1 es el primer término, n el término que se desea buscary d la diferencia entre ambos. Entonces aplicando lo anterior tenemos:

an = -1 (n – 1) . -3 = -1 -3n +3 = -3n + 2 Término general Probemos calculando el quinto y sexo término de la sucesión:

n5 = -3(5) + 2 = -15 + 2 = -13 Verifiquémoslo con la relación de recurrencia: Un = Un-1 – 3 n4 = -10 entonces n5 = -10 – 3 = -13 correcto

n6 = -3(6) + 2 = -18 + 2 = -16 Verifiquémoslo con larelación de recurrencia: Un = Un-1 – 3 n5 = -13 entonces n6 = -13 – 3 = -16 correcto

b.

U0 = -1; Un =

Conociendo el primer término y la relación de recurrencia, obtenemos 3 términos más para analizar la sucesión.

n1 = -1 n2 = n3 = n4 = = =

Nos damos cuenta que al multiplicar cualquier término por obtenemos el siguiente. Progresión Geométrica, por: Esto nos indica que es una y su términogeneral está dado

an = a 1 . r es:

n-1,

donde r es la razón, en nuestro caso la razón

Entonces, aplicando lo anterior el término general de la sucesión calculemos el segundo y tercer término: a2 = -1 ( )2-1 = -1 ( )1 = -1 ( ) = a3 = ( )3-1 = ( )2 = ( )= correcto correcto

3. Demostrar que Wn = {

} es estrictamente creciente

Para que sea creciente debe cumplir que Un+1 – Un > 0 == = = lo cual es > 0 para n ≥ 0

Así que la sucesión es creciente.

4. Demostrar que Xn = {

} es estrictamente decreciente.

Para que sea decreciente debe cumplir que Un+1 – Un < 0 = -

= =



lo cual tiende a cero para cualquier n 0

5. Hallar la mínima cota superior de la sucesión: Vn = (

) n≥1

Definamos algunos términos de la sucesión para examinar su comportamienton1 = n2 = n3 = n4 =

= 3 = = =

Cómo podemos observar por simple inspección, el máximo valor que puede arrojar la sucesión es 3, esta es su cota superior ya que tiende a decrecer.

6. Determinar si la sucesión Vn = ( la cota superior e inferior.

)

n ≥1

es acotada y hallar

Igual que el ejercicio anterior, debemos definir algunos términos y con un poco de observación y análisis...
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