Sucesiones

Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas” Facultad de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Matemática Matemática III Ing. Ciclo 01/2012 Ing. Daniel Augusto Sosa Ing. José María Velásquez

Sucesiones Infinitas

1. Determine si los siguientes limites existen:

2  sec x a) lim  3 tan x x
2

x  tan 1 x x 0 x sin x 2e3 x  ln x c) lim 3 x x  e  x2
b) lim d) lim 
x 0 x3  27  f) lim  3  x   x x 

x 2 1

 x 2  14 x  45  g) lim  2  x   x  7 x  10 
h) lim e x  x
x 

6x





1 x

e



1 x

x x  cosh x e) lim x  x2  1
k) La Integral Senaria Si  x   i. ii.

i) j)

 ln x  5  lim   x   ln x 
 1 lim 1   x   x
5x

ln x3



Si  x  x 0 x Si  x   x lim x 0 x3 lim

sin u dues una función especial de las matemáticas. Calcule: u 0

x

l) La Integral Cosenaria de Fresnel cuya formula es C  x   cos u 2 du se utiliza en el estudio de


0

x

la difracción de la luz. Calcule lim

C  x  x x 0 x5

m) La Media Geométrica de dos números reales positivos a y b se define como
1  1 ax  bx de L’Hôpital para demostrar que : lim  x    2 

ab . Usela regla

   ab   
d) ak 

x

2. Enliste los primeros 5 elementos que obedecen a la regla de los términos generales siguientes:

 k  a) sin  2 k  0  k 1 b) ak  k  1 3k  1 1 c) ak 1  , a1  1 k  2 1  ak



i
i 1 k

k

k
3

k  1
2

e) ak 

k
n 1

2k !

k  0

3. De una expresión para el termino general ak de las siguientessucesiones asumiendo que se mantiene el patrón de los primeros términos:

8  2 4  ,...  3 9 27  b) 0,1,1, 2, 2,3,3, 4, 4,...
a) 1,  , ,  c)

e) f) g) h)

0,3,8,15, 24,...
 x  x x x   , , ,... 24 246   2  

0,1,3,6,10,15, 21,... 1, 1, 1,1,1, 1, 1,... 1, 4, 27, 256,3125,... 1,3,15,105,945,...

d) 

4. Encuentre el termino general que le corresponde a cadauna de las sucesiones recursivas siguientes, luego encuentre el termino que se le pide en cada caso: a) ak  3ak 1 , a0  5 k  1 Encuentre a50 b) ak  5ak 2 , a0  5  a1  2 k  2 Encuentre a50  a51 c) 4ak 2  ak  4ak 1 , a0  a1  4 k  2 Encuentre a10 d) ak  6ak 1  9ak 2 , a0  1  a1  3 k  2 Encuentre a10 e) ak  ak 1  ak 2 , a0  a1  1 k  2 Encuentre a15 (Sucesión deFibonacci) f) ak 1  8ak 1  2ak , a2  52  a3  376 k  3 Encuentre a15 5. Use la definición formal de limite de una sucesión para demostrar que la sucesión dada converge al numero indicado L.

2k 2  1 a) lim 2 k   k  1 k  2 
b)

c) lim
3

1  0 siendo r  1 k  r k

 2k  1   2k  1 lim
3 k 

3k 2  1

8

6. Haga uso del teorema del emparedado paraencontrar la convergencia de las sucesiones siguientes:

cos 2 k k  1 k cos  k  k 3 b) ak  k  1 4  k  9
a) ak 

c) ak 

1 k 2 1



1 k2  2

 ... 

1 k2  k

k  1

d) ak 

1 k  1 con a  k a
2

7. Aplique el criterio del valor absoluto para determinar si la sucesión converge o diverge a) ak

 4  
k

k

k  1
k

d) ak

  k  1  b) ak      k  1   k  5 k k c) ak   1 k k  1 2

k  1 ek  k  k  3  e) ak  sin    k  1  2  k 

   

k

8. Utilice el criterio o prueba de la razón para determinar la convergencia o divergencia de las sucesiones a) ak  b) ak 

ik k  1 siendo i  0  2k  ! 2 k! k  1  2k  !
k

c) ak 

k!

  2n  1
n 1

k

k  1

d)

 k ! k  1ak   2k  !
2

9. Demuestre si las siguientes sucesiones son monótonas y acotadas, de serlo encuentre el valor de convergencia L a) ak 1  2  ak a1  1 k  1 b) ak 

1 a1  1 k  2 3  ak

c) ak  k 2 k  1

mk k  1 siendo m k! 2k  3 e) ak  k  1 3k  4
d) ak 

10. Las sucesiones siguientes provienen de la formula recursiva para encontrar raíces irracionales, conocido...