Sucesión Matemática

Sucesión matemática
Una sucesión matemática es una aplicación definida sobre los enteros naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente n (por natural) en vez de x, y, z, etc; habitual para las variables reales.
Una sucesión infinita es una función a cuyo dominio es elconjunto de todos los números:
N = (1, 2, 3, 4, ... n, ....(
El codominio de la función a es el conjunto de:
(a(1), a(2), a(3), a(4), ... a(n), ....(
Que usualmente se escribe:
a1, a2, a3, a4, ..., an, ...
donde
an = a(n)
Por convención, se escribe un en vez de u(n) la imagen de n por la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).
U :N ------> R
n ------> un
Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.


Definición explícita
La definición es explícita cuando se da una fórmula que permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otra variable que n. En otras palabras, un es una función de n: un = f(n).
Definición implícita
La definición es implícitacuando no es explicita. Esto significa que un no sólo depende de n sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.
Por ejemplo se puede fijar:
uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0,
un = n·un-1

Para hallar u3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.
Obtenemos:
u1 = 1×u0 = 1×1 = 1, luego
u2 =2×u1 = 2 × 1 = 2 y por fin
u3 = 3×u2 = 3 × 2 = 6.
Son los factoriales.

Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por: un+2 = un+1 + un.
La fórmula que define un término con relación a los anteriores se llama relación de inducción.


Los elementos en el codominio se llaman términos de la sucesión;
A1 es el primer término de la sucesión
A2 es el segundo término de lasucesión
An es el n-ésimo término de la sucesión.
Por ejemplo
an = (n-1) / n n ( N
La función a es una sucesión con términos:
0, ½, 2/3, ¾, ..., (n-1)/n, . . .
Si el dominio de la función a es el conjunto de enteros positivos (1, 2, 3, 4, ... n( para algún n fijo, entonces a se llama sucesión finita. Así, si
A1 = 5
Y
an = an-1 + 2 para n ( (2, 3, 4(
la función a es una sucesiónfinita con términos
5, 7, 9, 11
EJEMPLOS
Los dos siguientes ejemplos ilustran dos formas de especificar sucesiones:
1. el n-ésimo término an se expresa en términos de n.
2. Se da uno o más términos y el n-ésimo se expresa en términos de los anteriores.

EJEMPLO 1:
Encontrar los cuatro primeros términos de una sucesión cuyo n-ésimo término es:
an = 1/2n
Solución
a1 = 1/2, a2 = 1/4a3 = 1/8 a4 = 1/16
Problema:
Encontrar los cuatro primeros términos de una sucesión cuyo n-ésimo término es:
an = n/(n2 + 1)
EJEMPLO 2
Encontrar los cinco primeros términos de una sucesión especificada por:
a1 = 5,
an = (½)an-1 n ( 2
Solución:
a1 = 5, a2 = 5/2 a3 = 5/4 a4 = 5/8 a5 = 5/16
Problema 2:
Encontrar los cinco primeros términos de una sucesión especificada por:
a1 = 3,
an= an-1 + 4 n ( 2

Ahora miramos el problema recíproco. Es decir, dado alguno de los primeros términos de una sucesión / y suponiendo que la sucesión sigue en la forma indicada) encontramos an en términos de n.
Ejemplo 3
Encontrar an en términos de n para las sucesiones cuyos cuatro primeros elementos son:
A) 5, 6, 7, 8,
B) 2, -4, 8, -16, ...
RESOLVER…
A) an = n + 4
B)an = (-1)n+12n
Nota: Estas representaciones NO son únicas
PROBLEMA 3
Encontrar an en términos de n para las sucesiones cuyos cuatro primeros elementos son:
A) 3, 5, 7, 9, . . .
B) 1, -1/2, 1/4, -1/8, . . .
A. an = 2n + 1
B. an = (-1)n+1/2n-1
SERIE
La suma indicada de los términos de una sucesión se llama serie. Así, si
a1, a2, a3, a4,..., an
Son los términos de una...