Sucesión

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Introducci´n a las sucesiones
o
y series num´ricas
e

Ram´n Bruzual
o
Marisela Dom´
ınguez

Caracas, Venezuela
Septiembre 2005

Ram´n Bruzual
o
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´
ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio deFormas en Grupos
Centro de An´lisis
a
Escuela de Matem´tica
a
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota: Este material est´ disponible en la p´gina web
a
a
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´plica en un servidor externo a la Universidad Central de
e
Venezuela, el v´
ınculo se encuentra indicado enesa misma p´gina web.
a

Pr´logo
o

Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en la parte de Sucesiones y Series
Num´ricas, del curso de Matem´tica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Cene
a
tral de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´
ıa,
Geoqu´
ımica, Qu´
ımica, Computaci´n, F´
o
ısica y Matem´tica.
a
El trabajo demecanograf´ y la elaboraci´n de los gr´ficos est´ a cargo de los autores.
ıa
o
a
a
Agradecemos cualquier observaci´n o comentario que deseen hacernos llegar.
o
Ram´n Bruzual.
o
Marisela Dom´
ınguez.
Septiembre 2005.

iii

CONTENIDO
Cap´
ıtulo 1. Sucesiones num´ricas.
e

1

1. Definiciones y resultados b´sicos
a

1

2. Sucesiones convergentes.

4

3. El n´mero e.
u5

4. Sucesiones mon´tonas.
o

5

5. Operaciones con sucesiones

5

6. Repaso de la regla de L’Hˆpital.
o

6

7. L´
ımite infinito

9

8. Sumas finitas y el s´
ımbolo sumatorio.

11

Ejercicios.
Sucesiones.

13

Cap´
ıtulo 2. Series num´ricas.
e

19

1. Series.

19

2. Convergencia y divergencia de series.

22

3. Criterios de convergencia para seriesde t´rminos positivos.
e

24

4. Criterios de convergencia para series de t´rminos alternadas.
e

30

5. Series telesc´picas.
o

30

Ejercicios.
Series.

32

Cap´
ıtulo 3. F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o

37

1. La f´rmula de Stirling.
o

37

2. El producto de Wallis.

38

Ejercicios.
F´rmula de Stirling y producto de Wallis.
o

41

Bibliograf´ıa

43

´
Indice

45

v

CAP´
ITULO 1

Sucesiones num´ricas.
e
Este cap´
ıtulo es un repaso de cursos previos.
Concepto de sucesi´n y ejemplos. L´
o
ımite de una sucesi´n. Propiedades
o
del l´
ımite. C´lculo de l´
a
ımites de sucesiones.
1. Definiciones y resultados b´sicos
a
La idea de sucesi´n en R es la de una lista de puntos de R.
o
Son ejemplos de sucesiones:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
2, 4, 6, 8, 10, . . .
1, 4, 9, 25, 36, . . .
1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .
1, 10, 100, 1.000, 10.000, . . .
1, −1, 1, −1, 1, . . .
Lo importante acerca de una sucesi´n es que a cada n´mero natural n le corresponde un
o
u
punto de R, por esto damos la siguiente definici´n.
o
´
Definicion 1.1. Una sucesi´n es una funci´n de N en R.
o
o
Si a : N → R es una sucesi´nen vez de escribir a(1), a(2), a(3), . . . suele escribirse
o
a 1 , a2 , a3 , . . .
La misma sucesi´n suele designarse mediante un s´
o
ımbolo tal como {an }, (an ) ´ {a1 , a2 , . . .}.
o
Tambi´n usaremos {an }, (an ) ´ {a1 , a2 , . . .}.
e
o
Ejemplo 1.2. La sucesi´n de Fibonacci {an } est´ definida por
o
a
a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 .
1

´
1. SUCESIONES NUMERICAS.

2Esta sucesi´n fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relaci´n con un problema
o
o
de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y
que despu´s de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El n´mero an
e
u
de parejas nacidas en el n-´simo mes es an−1 + an−2 , puesto que nace una pareja por cada
e
pareja nacida en el mes...