Superficies cilindricas

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAPÁ

ADABRIAN SANTANA DE ARAÚJO
CLEISON CARVALHO LOBATO
ELDON MACIEL SILVA
EDGAR JUNIOR
GABRIELCARVALHO SILVA

CILINDROS E SUPERFICIES QUADRATICAS

CALCULO II

MACAPÁ
2009
ADABRIAN SANTANA DE ARAÚJO
CLEISON CARVALHO LOBATO
ELDON MACIEL SILVA
EDGAR JUNIOR
GABRIELCARVALHO SILVA

CILINDROS E SUPERFICIES QUADRATICAS

CALCULO II

MACAPÁ
2009ADABRIAN SANTANA DE ARAÚJO
CLEISON CARVALHO
ELDON MACIEL SILVA
EDGAR JUNIOR
GABRIELCARVALHO SILVA

CILINDROS E SUPERFICIES QUADRATICAS

Nota: _____
______________________________________
Orientador professor Fredson

MACAPÁ
2009
Sumario
Superfícies e Curvas no Espaço 4

Superfícies e Curvas no Espaço
Quádricas
As superfícies que podem ser apresentadas pelas equaçõesquadráticas nas variáveis x, y e z, ou seja da forma.
ax2 +by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0.

Em que a; b; c; d; e; f; g; h; i; j Є R, com a; b; c; d; e; f não simultaneamente nulos.

Elipsóide
Um elipsóide é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação

[pic]
[pic][pic]

[pic],
em que a; b e c são números reais positivos.
Observe quese o ponto (x; y; z) satisfaz, então o ponto simétrico em relação ao plano xy,
(x; y;-z), também satisfaz, por isso dizemos que o elipsóide é simétrico em relação ao plano xy. Também (x;-y; z) satisfaz, por isso dizemos que o elipsóide é simétrico em relação ao plano xz. O mesmo acontece com (-x; y; z), por isso dizemos que o elipsóide é simétrico em relação ao plano yz. Se o ponto (x; y; z)satisfaz, então o ponto simétrico em relação ao eixo z, (-x;-y; z), também satisfaz, por isso dizemos que o elipsóide é simétrico em relação ao eixo z. O mesmo acontece com (-x; y;-z), por isso dizemos que o elipsóide é simétrico em relação ao eixo y. O mesmo acontece com (x;-y;-z), por isso dizemos que o elipsóide é simétrico em relação ao eixo x. Finalmente se o ponto (x; y; z) satisfaz, então oponto simétrico em relação a origem, (-x;-y;-z), também satisfaz, por isso dizemos que o elipsóide é simétrico em relação a origem.
Se |k| < c, o plano z = k intercepta o elipsóide segundo a elipse

[pic]
Observe que os eixos da elipse diminuem à medida que |k| aumenta.
As interseções do elipsóide com o plano x=k, para |k| < a e com o plano y=k, para |K| < b, são também elipses. Se a=b=c, oelipsóide é uma esfera de raio r=a=b=c.
[pic]
Hiperbolóide
Hiperbolóide de Uma Folha
Um hiperbolóide de uma folha e um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação.
[pic]
Em que a; b e c são números reais positivos.
Observe que o hiperbolóide de uma folha é simétrico em relação aos planos coordenados, aos eixos coordenados e àorigem. Pois, se (x; y; z) satisfaz, então (-x; y; z), (x; -y; z), (x; y; -z), (-x; -y; z), (x; -y; -z), (-x; y; -z) e (-x; -y; -z) também satisfazem.
O plano z = k intercepta o hiperbolóide de uma folha segundo a elipse
[pic], z=k
Observe que os eixos da elipse aumentam à medida que k cresce.
O plano y=k intercepta o hiperbolóide de uma folha segundo uma curva cuja equação é[pic], y=k.
Se [pic], então a interseção é uma hipérbole e se [pic], então a interseção é um par de retas concorrentes.
Considerações semelhantes são válidas para a interseção do hiperbolóide de uma folha com o plano x=k.
[pic]
[pic]
As equações [pic] e também representam hiperbolóides de uma folha.
Hiperbolóide de Duas Folhas
Um hiperbolóidede duas folhas é um conjunto de pontos que em algum sistema de coordenadas satisfaz a equação [pic] em que a,b e c são números reais positivos.
Observe que o hiperbolóide de duas folhas é simétrico em relação aos planos coordenados aos eixos coordenados e à origem. Pois se (x, y, z) satisfaz, então (-x, y, z), (x, -y, z), (x, y, -z) (-x, -y, z), (x, -y, -z), (-x, y, -z) e (-x, -y, -z)...