Superficies cuádricas

INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL CÁLCULO INFINITESIMAL

COMPLEMENTOS 6: SUPERFICIES CUÁDRICAS * Se denominan superficies cuádricas a todas aquellas superficies que pueden ser definidas mediante unaecuación de segundo orden. Estas figuras responden a la siguiente expresión cuadrática general:

P (x, y, z ) = A x 2 + B y 2 + C z 2 + 2 D xy + 2 E xz + 2 F yz + 2G x + 2 H y + 2 I z + J = 0 siendolas más importantes el elipsoide, hiperboloide, paraboloide, los conos y los cilindros. * A continuación se exponen las citadas superficies acompañadas de sus respectivas ecuaciones referidas a susistema de ejes:

El elipsoide.
Un elipsoide es la superficie engendrada por una elipse de semiejes variables a y b que se mueve perpendicularmente al eje 2c de una segunda elipse, de forma que losextremos del eje 2a se apoyan continuamente sobre la segunda elipse, y el eje 2b varía según una relación de semejanza establecida respecto del eje 2a.

y2 z2 + 2 + 2 =1 a2 b c

x2

1/5Hiperboloide de una hoja.
Es el cuerpo engendrado por una elipse que se mueve de forma paralela y semejante a sí misma, apoyando continuamente los extremos de sus ejes sobre las dos ramas de una hipérbola.y2 z2 + 2 − 2 =1 a2 b c x2

Hiperboloide de dos hojas.
Si la elipse del cuerpo anterior se apoya únicamente en la parte interior de una rama de la hipérbola y posteriormente en la otra, entoncesresulta el hiperboloide de dos hojas.

y2 z2 + 2 − 2 = −1 a2 b c

x2

2/5

Cono elíptico.
Un cono elíptico es el cuerpo engendrado por una recta que, pasando continuamente por un punto O, seapoya sobre dos elipses paralelas e iguales situadas simétricamente respecto de un plano que contiene al punto citado. El cono, por consiguiente, está constituido por dos superficies iguales dispuestasde forma especular respecto de un plano que pasa por el punto O (vértice del cono). y2 z2 + 2 − 2 =0 a2 b c x2

Paraboloide elíptico.
El paraboloide, análogamente a la parábola en las secciones...