Superficies en el espacio

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TEMA: SUPERFICIES EN EL ESPACIO

La grafica de una función de tres variables por lo general (x,y,z) representa una superficie en el espacio de !3. Una función de tres variables asocia cada terna ordenada (x,y,z) mediante esta relación .

La grafica de la ecuación (x,y,z)=0, es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen esta ecuación, y esta representación grafica de lafunción mencionada anteriormente, recibe el nombre de superficie en !3.

Los ejemplos más simples de superficies en el espacio de !3 son los planos con ecuación lineal Ax+By+Cz+D=0.

Para graficar una superficie en el espacio tridimensional, es útil examinar sus intersecciones con varios planos, como por ejemplo con el plano xy, yz, xz, o también otros planos no tan comunes como estos tres.

Latraza de la superficie en el plano es la intersección de estas dos graficas de superficies. Por ejemplo si tenemos una esfera que se intercepta con el plano xy, se puede ver claramente que la traza de esta esfera con respecto al plano es una circunferencia de radio “r” que dependerá de la ubicación de la esfera respecto al plano. Esto se cumplirá si las dos superficies se interceptan entre sí perono son tangentes.

Para visualizar una superficie especifica en el espacio, por lo general basta examinar sus trazas en los planos coordenados y posiblemente unos cuantos planos paralelos a estos.

Existen distintos tipos de superficies en el espacio, dentro de las cuales se encuentran:
* Superficies Implícitas. F(x,y,z)=0
* Cuádricas
* Superficies equipotenciales.
*Superficies Explicitas. z=f(x,y);
* Superficies Paramétricas. (x,y,z)=f (u,v)

Las Explicitas se tratan como paramétricas.

* Bezier, BSplines, NURBS.

Cuádricas

Las superficies cuádricas se tratan de primitivas matemáticas que responden a la ecuación:
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, toros,hiperboloides, etc.
Esta ecuación de la representación de superficies cuádricas está referida a ejes que no son de simetría (ejes arbitrarios), donde al menos uno de los seis primeros coeficientes es no nulo. Esta ecuación puede reducirse a una en la cual no figuren los productos entre las variables. Mediante una rotación adecuada de coordenadas, pueden eliminarse luego los términos que contienen las primeraspotencias de las nuevas variables mediante una translación. Se llegara entonces a las ecuación más simple para dicha cuádrica; esta ecuación es la ecuación canónica de la cuádrica.
Ax2+By2+Cz2+Dx+Ey+Fz+G=0

Las superficies cuádricas se pueden clasificar en cuádricas no degeneradas que son cinco: tres de ellas poseen centro de simetría (elipsoide, hiperboloide de una hoja y de dos hojas) y lasdos restantes no poseen centro de simetría (paraboloide elíptico e hiperbólico o silla de montar). Las cuádricas degeneradas son conos, planos dobles y cilindros.

Cuádricas no degeneradas

Entre las cuadráticas no degeneradas están las del tipo:
- Mx2+Ny2+Pz2 = R2 con R>0 {centradas}
- Mx2+Ny2 = Sz {no centradas}

Dentro de superficies cuádricas centradas no degeneradas se encuentran,esferas, elipsoides, hiperboloides de una y de dos hojas y entre las no centradas y no degeneradas se encuentran el paraboloide elíptico y el paraboloide hiperbólico. Dentro del estudio de las superficies cuádricas que estudiaremos se analizarán en su forma canónica.

Elipsoide

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir,son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos.
En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.
Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, mediante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales.

La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:...
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