Sólidos De Revolución

RECORDANDO LAS DERIVADAS E INTEGRALES



Derivar:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-


6.-

7.-

8.-

9.-


10.-

















Integrar:

11.-

12.-

13.-

14.-

15.-

16.-

17.-

18.-

19.-

20.-








Sesión Nº 1:

INTEGRAL DEFINIDA


SUMATORIAS: Supongamos que son tales que ,además está definida para cada , entonces:

Donde:

Ejemplo:
1.
2.
Observación:
1. La expresión tiene sumandos y éstos son:

2. Si , tenemos:

PROPIEDADES:
1. ; en particular ; C: constante
2.
3.
4.
5.
6. ; Propiedad telescópica
7.
8.
9.
Ejemplo:
1. Determinar
Solución:
Sea y
Aplicando la propiedad telescópica tenemos:2. Determinar
Solución:
Sea y
Aplicando la propiedad telescópica tenemos:


3. Determinar
Solución:



DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA USANDO SUMATORIAS
Partición de un Intervalo Cerrado.- Sea un intervalo cerrado, llamaremos partición del intervalo a todo conjunto de puntos tal que



Observación:
1. Toda partición de divide al intervalo ensub intervalos.

2. La longitud del intervalo se denota con
;
es decir: .
3. Llamaremos norma o diámetro de la partición el número , en donde:

4. Cuando el intervalo es dividido en subintervalos de longitud igual, entonces la longitud de cada subintervalo es:
, en donde cada extremo del subintervalo es


APROXIMACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA POR ÁREASRECTANGULARES

El concepto de integral definida nace a menudo de la consideración del área encerrada por la curva , el eje y las ordenadas levantadas en y ; pero podemos dar la definición de integral definida sin apelar a la geometría:

yx
a= =b


Subdividimos el intervalo en sub-intervalos mediante los puntos elegidos arbitrariamente, escojamos en cada uno de los nuevos intervalos , los puntos arbitrariamente y formemos la suma:



Denotemos: , luego:


Geométricamente esta suma representa el áreatotal de los rectángulos de nuestra figura.
Si hacemos crecer el número de subdivisiones de tal modo que , tenemos:

S =

existe y su valor es independiente de la forma de subdividir el intervalo

Definición.- Consideremos una función continua en . Entonces la integral definida de de hasta lo denotaremos por y es definido por:

Si existe el límite.
Donde:
,Observación:
En la integral definida , tenemos:
- se llama integrando.
- se llama límite inferior.
- se llama límite superior.


TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

“Si es continua en el intervalo cerrado y es la primitiva o integral indefinida de , se verifica:

”


PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Consideremos dos funciones y integrables en y una constantearbitraria. Entonces:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.- Si , entonces

7.- Si es continua en , tal que , se cumple:



Ejemplos explicativos:

Hallar:

1.- 6.-

2.- 7.-

3.- 8.-

4.- 9.-

5.- 10.-

Ejemplos para el aula:

Resolver las siguientes integrales:

1.- 5.-

2.-

3.-4.-

HOJA DE PRÁCTICA 1


I.- Resolver las siguientes integrales:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

10.-














Sesión Nº 2:

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

I.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE.

Sea una función diferenciable, se cumple:


Para resolver...