taller 1 vectorial

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
UDE@
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Instituto de Matemáticas
Geometría Vectorial y Analítica-IDM-120
Taller Primer Parcial

1. Elementos teóricos
a) Geométricamente ¿Cuáles son las posiciones relativas de dos rectas en el plano? ¿En el
espacio?
b) ¿Cómo se expresa analíticamente una recta en el plano?
c) ¿Cómo se pueden determinar las posicionesrelativas de dos rectas en el plano analíticamente?
d ) ¿Cuántas y cuáles son las formas de hallar la ecuación de una recta en el plano?
e) ¿Cómo se puede obtener la pendiente de una recta?
f ) ¿Cuáles son los métodos más comunes para resolver un sistema de ecuaciones lineales 2 x
2?
g) ¿Qué es una n-tupla?
h) ¿Cuándo dos n-tuplas son iguales?
i ) ¿Qué operaciones pueden realizarse con una, dos omás n-tuplas?
j ) ¿Qué es un vector? mencione algunas formas de representarlo.
k ) ¿Qué es una matriz?
l ) ¿Qué operaciones elementales pueden realizarse entre las filas de una matriz?
2. Contraejemplos. Sean A, B y C matrices. Muestre en cada literal por medio de un contraejemplo que la igualdad establecida no es verdadera (esto es, la proposición no es un teorema).
a) AB = BA.
b) (A + B)2 =A2 + 2AB + B 2 .
c) (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
d ) (AB)2 = A2 B 2 .
e) Si AB = AC entonces B = C.
f ) AB = 0 si y solo si A = 0 o B = 0.
3. Argumentación. Para cada una de las siguientes afirmaciones Indique Falso o verdadero según
sea el caso. Justifique su respuesta.
a) Toda matriz escalar es triangular superior
b) Toda matriz diagonal es escalar

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Taller Primer Parcialc) Toda matriz escalar es diagonal
d ) Toda matriz nula es cuadrada
e) Toda matriz con unos en la diagonal principal y ceros en los restantes elementos, es una
matriz identidad
f ) Toda matriz nula es escalar
g) Toda matriz identidad es escalar
h) Toda matriz triangular inferior es cuadrada
i ) Toda matriz triangular superior e inferior es escalar
j ) Ninguna matriz simétrica puede serantisimétrica
k ) En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal son necesariamente
iguales a cero
l ) En una matriz simétrica los elementos de la diagonal principal pueden ser iguales a cero.
m) Sea A = [aij ](n,n) , donde aij = λ para todo i = 1, 2, . . . , n y para todo j = 1, 2, . . . , n
entonces A es una matriz escalar.
n) Sea B = [bij ](n,m) , donde bij = 0 , si i = jpara todo i = 1, 2, . . . , n y para todo j =
1, 2, . . . , m entonces B es una matriz diagonal.
ñ) Si A es matriz de orden n × n tal que para toda matriz B de orden n × n, AB es la matriz
nula, entonces A es la matriz nula de orden n × n.
o) Para toda matriz A ∈ Rm×n , la matriz AAT es simétrica.
p) Si A y B son matrices simétricas de orden n, entonces AB es matriz simétrica.
4. Sistemasde ecuaciones lineales. Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales dar
respuesta a las siguientes situaciones
i.
ii.
iii.
iv.

Represente los sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial.
Escalone cada una de las matrices obtenidas.
¿Qué interpretación puede darse de dichos resultados?
Establezca el conjunto solución para cada sistema.
+ 4y = 1
2
x − 2y = 3
x
2

a)2x − 3y = 5
x + y = −2

b) −5x + 7y = 1
x−y =3

c)

d ) 6x + 3z = 9
2x + 4z = 8

e) y − z = 2
x−y =2
x−z =2

f ) 2x + 4y + 3z = 1
y − z = −1
3x + 5y + 7z = 0

g) x − 3y − 2w = 1
3x − 12y − 2z − 6w = −1
−2x + 10y + 2z + 5w = 0
−x + 6y + z + 3w = 1

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Taller Primer Parcial

5. Matrices Dadas las matrices:
A=

2 −1 5
0 1 −2

,

−3 −4 2
5 −1 −7

B=

yC=

−4 6 8
10 −1 13

Encuentre:
a) A + B.
b) 4A.
c) 3A − 2B − 4C.
d ) A + B.
6. Matrices simétricas y triangulares

2 −α
 3
0
A=
−1 −1

Dadas las matrices:



−1
β −2 1
−1  y C =  2 β β 
−2
α 0 β

Hallar
a) A + C.
b) ¿Para cuáles valores de α la matriz A es simétrica?
c) ¿Para cuáles valores de α y β la matriz A + C es triangular?
7. Operaciones entre...