Taller Algebra

Desigualdades
Dadas dos rectas que se cortan, llamadas ejes (rectangulares si son perpendiculares, y oblicuos en
caso contrario), un punto puede situarse conociendo las distancias del mismo a los ejes, tomadas a
lo largo de paralelas a ellos a partir del punto. Se acostumbra a designar los ejes por x e y y las distancias a ellos por ordenada y abscisa respectivamente. La ordenada y laabscisa son las coordenadas cartesianas del punto.
Al establecer un sistema cartesiano en el plano y fijar la escala, ya sea horizontal, ya vertical, estamos teniendo en cuenta los criterios de ordenación de números. Recuérdese que los números reales no nulos se dividen en dos clases: los positivos que forman el conjunto R
+
, y los negativos
que forman el conjunto R
−
. Se suele escribir:a 0 > para expresar que el número a es positivo
a 0 < para expresa ú r que el n mero a es negativo
En general se escribe:
a < b y se lee "a es menor que b" (desigualdad estricta)
a b ≤ y se lee "a es menor o igual que b" (desigualdad amplia)
a > b y se lee "a es mayor que b" (desigualdad estricta)
a b ≥ y se lee "a es mayor o igual que b" (desigualdad amplia)
Se llamadesigualdad a cualquiera de las cuatro expresiones anteriores. Gráficamente, la desigualdad a < b significa que el punto representativo de "a" en la recta real se halla a la izquierda del
que representa "b", y la desigualdad a > b significa que el punto representativo de "a" en la recta
real se halla a la derecha del que representa "b".
Desigualdad < ba Desigualdad > ba
Propiedades delas desigualdades
Cuando se utilizan desigualdades o inecuaciones, deben tenerse en cuenta fundamentalmente las
siguientes reglas (aunque las enunciamos sólo con el símbolo ≤, , y ≥):
I. Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número se obtiene
otra desigualdad del mismo sentido.
I.E.S. Historiador Chabás -1- Juan Bragado Rodríguez
a b a c b c c R < ⇒ +< + ∀ ∈
Debido a esta propiedad, se pueden transponer términos como en las ecuaciones, o sea, los
elementos que están en un miembro sumando pasan al otro restando.
Ejemplo Si se cumple que − ⇒ < <
Ejemplo Si − < ⇒ − ⋅ 2 8 2 3 8 3 6 24 < ⋅ ⇒ − <
III. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número negativo la
desigualdad cambia de sentido.

ab y c 0 a c bc y
a
c
b
c
< < ⇒ > >
Ejemplo Si −10 1 10 2 1 2 20 2 < ⇒ − ( ) ( ) − > − ⇒ > −
El sentido de una desigualdad se conserva al multiplicar (o dividir) sus dos miembros por un
mismo número positivo, y se invierte si dicho número es negativo.
Aplicando las propiedades anteriores a las inecuaciones tenemos los siguientes ejemplos:
Ejemplo La desigualdad 2x x < + 5 equivale a2x x − < 5 , pues basta sumar − a los dos
miembros de la primera
x
2 5 2 5 2 5 x x x x x x x x x < + ⇒ + ( ) ( ) − < + + − ⇒ − < ⇒ < 5
Ejemplo De la expresión 3x < 5 podemos deducir x <
5
3
, porque para despejar x hemos
de dividir por 3 (positivo) los dos miembros de la primera desigualdad.
Ejemplo De la expresión −3x < 5 podemos deducir x > −
5
3
, porque para despejarx
hemos de dividir por −3 (negativo) los dos miembros de la primera desigualdad.
I.E.S. Historiador Chabás -2- Juan Bragado Rodríguez
I.E.S. Historiador Chabás -3- Juan Bragado Rodríguez
Intervalos en R
La relación de orden en los números reales permite definir algunos subconjuntos de números reales
que tienen una interpretación geométrica sencilla en la recta real y que seutilizan en las inecuaciones y funciones.
[ ] a , b a x b = ≤ ≤
Este intervalo representa todos los números
comprendidos entre a y b incluidos a y b. El
intervalo se llama cerrado.
] [ a , b a x b = < <
Este intervalo representa todos los números
comprendidos entre a y b excluidos a y b. El
intervalo se llama abierto.
] ] a , b a x b = < ≤
Este intervalo representa todos los...