taller de limites

Bloque 4. Cálculo

Tema 2 límites
Ejercicios resueltos
4.2-1 Resolver los siguientes límites:

x3  1
;
x 1 x 2  1

a) lim
d)

lim
x 0

b) lim

x 5
;
x 2  25

e) lim

x2  2x
;
x2  4 x  4

x 5

x2  2
;
x

x 2

x 1  2
;
x 3

c ) lim
x 3

f ) lim

 x  h 3  x 3
h

h 0

Solución
x3  1
0 
indeterminación de la forma   .
2
x 1 x  1
0 
descomponemos
en
factores
numeradory
simplificamos y por último sustituimos x por -1:

Para

a) lim

evitarla,

denominador,

 x  1  x 2  x  1
x3  1
x2  x  1
3
 lim
 lim

lim 2
1
x 1 x  1
x 1
x

x 1
2
 x  1 x  1
x 5
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
2
x 5 x  25
0 
descomponemos
en
factores
numerador
y
denominador,
simplificamos y por último sustituimos x por 5:

b) lim

lim
x 5x 5
x 5
1
1
 lim
 lim

2
x  25 x 5  x  5  x  5  x 5 x  5 10

x 1  2
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
x 3
x 3
0 
racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 3:

c) lim

lim
x 3

x 1  2
 lim
x 3
x 3
 lim
x 3

G3w



x 1  2

 x  3 

x 1  2

x 1  2

x 3

 x  3 

Conocimientos básicos de Matemáticas.



x 1  2



  lim
x 3

 lim
x 3



x 1  4

 x  3 
1

x 1  2





x 1  2





1
4

Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites

Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 1

x 2  2
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
x
0 
racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 0:

d) lim
x 0lim
x 0

x 2  2
 lim
x 0
x



 lim
x 0

x2  2
x

x







x 2  2

x 2  2

x 22
x 2  2





 lim
x 0



1
1
2


4
x 2  2 2 2

x2  2x
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
2
x 2 x  4 x  4
0 
descomponemos
en
factores
numerador
y
denominador,
simplificamos y por último sustituimos x por 2:

e) lim

lim
x 2

x  x  2
x2  2x
x
 lim
 lim
 2
2
2
2
x

x

x  4x  4
 x  2
 x  2
3
 x  h   x3

0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
h 0
h
0 
realizamos las operaciones que se nos indica en el numerador,
simplificamos y por último sustituimos h por 0:

f) lim

lim

3
 x  h   x3

h 0

4.2-2 Resolver:

h

x 3  3 x 2 h  3 xh2  h 3  x 3

h 0
h
3 x 2 h  3 xh2  h3
 lim
 lim  3 x 2  3 xh  h 2   3x2
h 0
h 0
h
 lim

lim
x 

2x  3
x3 x

Solución
Indeterminación de la forma




. Para evitarla, dividimos numerador y


denominador por x :
2x  3
3
2
2x  3
x 2
lim
 lim x3  lim
3
x  x  3 x
x  x 
x

x
x
1
x
x

G3w

Conocimientos básicos de Matemáticas.

Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites

Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA-Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 2

3


0
lim

x  x


3
lim x  lim 3 x  lim 3 1  0 
x 

x 3 x  x 2
 x  x

4.2-3 Resolver:

lim x
x 



x2  1  x



Solución

   . Para evitarla, en primer lugar

Indeterminación de la forma
racionalizamos:

lim x
x 



2



x  1  x  lim

x



x2  1  x



x 

 lim
x 



x2  1  x

x  x2  1  x2 



x2 1  x

x2  1  x





 lim
x 





x
x2  1  x



En la última expresión dividimos numerador y denominador por x, con lo
cual obtenemos:

lim
x 






x
1
1
x
 lim

x

2
2
1
x 1  x 
1  2 1

x

x


4.2-4 Resolver:

lim
x 

x
x x x

Solución
Indeterminación de la forma
denominador por

G3w




. Para evitarla, dividimos numerador y


x:

Conocimientos básicos deMatemáticas.

Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites

Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza

Ejercicios resueltos 3

lim
x 

x
x x x

 lim
x 

x
x
x x x
x

1

 lim
x 

1

x x
x

1

n

 1
4.2-5 Sabemos que lim  1    e
n 
 n
x

Resolver:

 1
a) lim 1   ;
x  
x

 1
b) lim 1  
n  
n

x

d)

 x...