taller limites

Taller II
L´ımites de funciones
Abril 26 de 2013
Prof: Alex´
ander M´
endez E.

1. Calcule los siguientes l´ımites:

√
x + 5 x − 14
√
l´ım
x→4
x−2

x→2−

x4 − 1
l´ım 3
x→1 x + 5x2 − 6x

√
x+1−2
l´ımx→3
x−3

√
√
x + 2 − 2x
l´ım
x→2
x−2

√
√
x2 − 2x + 6 − x2 − 2x + 6
l´ım
x→3
x2 − 4x + 3

1
1
l´ım − 2
x→0 x
x +x

l´ım

3.

2−x
x→2 x4 − 16
l´ım

√
2− x−3
l´ım
x→7 x2 − 49

x2 − (1 + a)x + a
x→1
x−1l´ım

4 − x2
√
x→2 3 − x2 + 5
l´ım

l´ım

x→2+

[|3x − 2|]|2 − x|
x2 − 4

x
l´ım √
x→0
1 + 3x − 1

√
√
3+x− 3
l´ım
x→0
x

√
x − x2
√
x→1 1 − x
l´ım

1 1
+
l´ım 4 x
x→−4 4 + x

√
√
x + 8 − 8x − 1
√l´ım √
x→1
5 − x − 7x − 3
2. Sea ϕ(x) =

[|3x − 2|]|2 − x|
x2 − 4

l´ım [|x − 4|](x)

x→4

l´ım [|x|](x − 4)

x→4

√
ϕ(x + h) − ϕ(x)
5x + 1, halle l´ım
h→0
h

x2 − 9
=6
x→3 x2 + bx + 6
3x2 + ax + a + 3
b)Halle el valor de a para que l´ım
exista. Evalue el l´ımite.
x→3
x2 + x − 2

a) Halle el valor de b para que l´ım

4. Use, ap − bp = (a − b)(ap−1 + ap−2
b + . . . + abp−2 + bp−1 ) para hallar:
√
√
√3
3
x3 − 1
x−1
x2 − 2 3 x + 1
x5 − 1
l´ım
l´ım √
l´
ım
l´
ım
x→1 x − 1
x→1 4 x − 1
x→1
x→1 x3 − 1
x−1
sen x
x→0 x
sen2 2x
1 − cos x
l´ım
l´ım
x→0
x→0
x
x2

5. Evalue los l´ımites en t´erminos del n´umero α = l´ım
tan x
x→0 x
l´ım

sen2 x
x→0
x
l´ım

sen ax
x→0 sen bx
l´ım

x sen x
x→0 1 − cos x
l´ım

x2 (3 + sen x)
x→0
x + sen x
l´ım

6. Considere la siguiente funci´on

 2x − x2 ,
2 − x,
ϕ(x)=
 x − 4,
π,

si 0 ≤ x ≤ 2
si 2 < x ≤ 3
si 3 < x < 4
si x ≥ 4

a) Halle el domonio de ϕ(x)
b) Realice la gr´afica de ϕ(x)
c) Con base en la grafica, halle los valores de c tal que

x→c ϕ(x)

existe.Justifique.

7. Considere la siguiente funci´on
−2
π (x

+ π),
cos x,
1
2 (x − π − 2),

φ(x) =

si x ≤ −π
si − π < x < π
si x ≥ π

a) Realice la grafica de φ(x)
b) Halle l´ım φ(x) y l´ım φ(x)
x→−πx→π

8. En la figura se muestra un c´ırculo fijo C1 con ecuaci´on (x − 1)2 + y 2 = 1 y un c´ırculo C2 que se contrae,
con radio r y con centro en el origen. P es el punto (0, r), Q es el punto...