Taller resuelto de algebra lineal

Álgebra Lineal

Espacios vectoriales reales

Espacios Vectoriales Reales
Definition (Espacio vectorial) Un espacio vectorial (E.V.) real es un conjunto V con
dos operaciones ⊕ y  que satisfacen las siguientes propiedades para todo x, y, w ∈ V y
,  escalares.
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x ⊕ y ∈ V. (Cerradura para la suma)
x ⊕ y  y ⊕ x. (Conmutativa)
x ⊕ y ⊕ w  x ⊕y ⊕ w. (Asociativa)
Existe un elemento  ∈ V tal que x ⊕    ⊕ x  x. ( lo llamaremos vector nulo).
Para cada x ∈ V existe un elemento −x ∈ V tal que x ⊕ −x  . (−x lo llamaremos
inverso aditivo).
x ∈ V
  x ⊕ y    x ⊕   y.
    x    x ⊕   x.
    x    x.
1  x  x.
Los elementos de V se llaman vectores, la operacion ⊕ se llama suma vectorial, laoperacion  se llama multiplicacion escalar.

Example (1) R, R 2 , R 3 y R n son espacios vectoriales
Example (2) El conjunto P n , (Todos los polinomios en una variable de grado menor o
igual a n), con las operaciones de suma y multiplicacion escalar definidas asi, Sean
px  a 0  a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  …  a n x n y qx  b 0  b 1 x  b 2 x 2  b 3 x 3  …  b n x n
con a i , b i ∈R, para i  1, 2, …, n
⊕ : Pn  Pn → Pn
px, qx → px ⊕ qx
px ⊕ qx  a 0  a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  …  a n x n   b 0  b 1 x  b 2 x 2  b 3 x 3  …  b n x n 
px ⊕ qx  a 0  b 0   a 1  b 1 x  a 2  b 2 x 2  a 3  b 3 x 3  …  a n  b n x n
 : R  Pn → Pn
, px →   px
  px    a 0  a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  …  a n x n 
  px a 0   a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  …  a n x n
Como estas son las operaciones usuales de suma de polinomios y de multiplicacion
escalar de polinomios podriamos reeplazar ⊕ y  por la suma y el producto usual.
Para moastrar que es un espacio vectorial veamos si culple con las 10 propiedades para
todo px  a 0  a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  …  a n x n ,
qx  b 0  b 1 x  b2 x 2  b 3 x 3  …  b n x n ,
rx  c 0  c 1 x  c 2 x 2  c 3 x 3  …  c n x n ∈ P n y ,  ∈ R. con a i , b i , c i ∈ R, para
i  1, 2, …, n
1. px ⊕ qx ∈ P n
José J. Torres A
1

Álgebra Lineal

Espacios vectoriales reales

px ⊕ qx  a 0  a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  …  a n x n   b 0  b 1 x  b 2 x 2  b 3 x 3  …  b n x n 
px ⊕ qx a 0  b 0  x a 2  b 2 x 2 a 3  b 3  x 3  … a n  b n  x n ∈ P n
∈R

∈R

∈R

∈R

2. px ⊕ qx  qx ⊕ px
px ⊕ qx  a 0  a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  …  a n x n   b 0  b 1 x  b 2 x 2  b 3 x 3  …  b n x n 
 a 0  b 0   a 1  b 1 x  a 2  b 2 x 2  a 3  b 3 x 3  …  a n  b n x n
 b 0  a 0   b 1  a 1 x  b 2  a 2 x 2  b 3  a 3 x 3  …  b n  a n xn
 b 0  b 1 x  b 2 x 2  b 3 x 3  …  b n x n   b 0  b 1 x  b 2 x 2  b 3 x 3  …  b n x n 
 qx ⊕ px
3. px ⊕ qx ⊕ rx  px ⊕ qx ⊕ rx
px ⊕ qx ⊕ rx
 a 0  b 0   a 1  b 1 x  a 2  b 2 x 2  …  a n  b n x n   c 0  c 1 x  c 2 x 2  …  c n x n 
 a 0  b 0   c 0   a 1  b 1   c 1 x  a 2  b 2   c 2 x 2  …  a n  b n  c n x n
 a 0  b 0  c 0   a 1  b 1  c 1 x  a 2  b 2  c 2 x 2  …  a n  b n  c n x n
 a 0  a 1 x  a 2 x 2  …  a n x n   b 0  c 0   b 1  c 1 x  b 2  c 2 x 2  …  b n  c n x n
 px ⊕ qx ⊕ rx
4. Supongamos que x   0   1 x   2 x 2  …   n x n   y veamos cuales son los
valores de  i , i  1, …, n, que satisfagan que px⊕ x  px
px ⊕ x  px
 a 0   0   a 1   1 x  a 2   2 x 2  …  a n   n x n  a 0  a 1 x  a 2 x 2  …  a n x n 
Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes son iguales,
por lo tanto
a0  0  a0

0  0

a1  1  a1

1  0

a2  2  a2

Asi que

2  0





an  n  an

n  0

  x  0  0x  0x 2...