Tangente expon

ENCIALTema 3. Funciones Elementales
Prof. William La Cruz Bastidas 7 de octubre de 2002

Tema 3

Funciones Elementales
3.1 Funci´n exponencial o
ez = ex (cos y + isen y), para todo z = x + iy. Las funciones componentes de ez son u(x, y) = ex cos y y v(z, y) = ex sen y, las cuales satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann y sus derivadas parciales son econtinuas ıtica para todo z y, porlo tanto, es una funci´n entera. o en todo el plano complejo. As´ ez es anal´ ı, Si z = a es un n´mero, entonces u ez = ea (cos 0 + isen 0) = ea , es decir, ez se reduce a la funci´n ex si z toma valores reales. Como ez es anal´ o ıtica en todo z, su ∂u ∂v ∂v ∂u derivada se calcula utilizando las f´rmulas f (z) = o +i o ´ f (z) = −i , ∂x ∂x ∂y ∂y (ez ) = en otras palabras, ∂u ∂v +i = ex cos y +iex sen y, ∂x ∂x (ez ) = ez ,

La funci´n exponencial se define como o

que coincide con otra propiedad de la funci´n exponencial real. o Otras propiedades de la exponencial • |ez | = ex y arg(ez ) = y. En efecto, como w = ez = ex (cos y + isen y) es un n´mero complejo, u entonces podemos expresarlo en forma polar: w = ρ(cos φ + isen φ), donde ρ = ex y φ = y. • El rango de la funci´n exponenciales todo el plano complejo excepto z = 0. En efecto, como o |ez | = ex y ex > 0 para todo n´mero real x, entonces |ez | = 0 para todo z. Por lo tanto, u z = 0 para todo z. Ahora, si w = ρ(cos φ + isen φ) con ρ = 0 y −π < φ ≤ π, entonces e tomando z = ln ρ + iφ obtenemos que ez = w. 1

TEMA 3. FUNCIONES ELEMENTALES

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• La funci´n exponencial es peri´dica con un periodo imaginario puro de2πi. En efecto, se o o tiene que ez+2πi = ex+(y+2π)i = ex (cos(y + 2π) + isen (y + 2π)) = ex (cos y + isen y) = ez . o Luego, ez es peri´dica con periodo de 2πi. • Propiedades algebracicas. Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 . Las siguientes identidades son ciertas. i) ez1 ez2 = ez1 +z2 . ez1 ii) z2 = ez1 −z2 . e iii) e0 = 1. 1 iv) z1 = e−z1 . e v) (ez1 )n = enz1 , (n = 1, 2, . . . ).

3.2Funciones trigonom´tricas e
sen z = eiz − e−iz 2i eiz + e−iz . i

Se definen la funci´n seno como o y la funci´n coseno como o cos z =

Las funciones sen z y cos z son combinaciones lineales de las funciones enteras eiz y e−iz , por lo a tanto sen z y cos z son funciones enteras; adem´s, sus derivadas son respectivamente: (sen z) = y i eiz + e−iz = cos z 2i

i eiz − e−iz = −sen z. 2 Cuando z esun n´mero real, sen z y cos z coinciden con las funciones reales sen x y cos x, respecu tivamente. Es f´cil probar que sen 2 z + cos2 z = 1 y que las identidas que satisfacen el seno y el a coseno real tambi´n son v´lidas en el caso complejo; por ejemplo, e a (cos z) = sen (z1 ± z2 ) = sen z1 cos z2 ± cos z1 sen z2 , cos(z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 e etc´tera. sen z1 sen z2 ,

TEMA 3. FUNCIONESELEMENTALES A partir de la definci´n de sen z se deduce que o sen z = ei(x+iy) − e−i(x+iy) 2i e−y ey = (cos x + isen x) − (cos x − isen x) 2i 2i ey + e−y ey − e−y = sen x + i cos x . 2 2

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Por lo tanto, las partes reales e imaginarias de sen z aparecen como sigue sen z = sen x cosh y + i cos xsenh y. De la misma manera, al utlizar la definici´n de cos z se encuentra o cos z = cos xs cosh y −isen xsenh y. El seno y el coseno de un n´mero real son n´meros reales cuyo valor absoluto es iferior o igual u u a 1. Sin embargo, el seno y el coseno de un n´mero complejo no son s´lo, en general, complejos, u o sino que adem´s su m´dulo puede ser mayor que 1. a o Otras funciones trigonom´tricas e Las dem´s funciones trigonom´tricas de argumento complejo se definen f´cilmente por analog´ a e a ıa econ las funciones trigonom´tricas de argumento real, esto es, tan z = sec z = csc z = cot z = sen z , cos z 1 , cos z 1 , sen z 1 cos z = . tan z sen z

Para los valores de z donde no se anule el denominador de las funciones anteriores, su derivada existe y es, respectivamente, (tan z) (sec z) (csc z) (cot z) = sec2 z, = tan z sec z, = − cot z csc z, = − csc2 z.

Periodicidad y ceros de las...