Tangente

*El problema de la tangente: Derivada de una funci´on* en un punto
La idea central del c´alculo diferencial es la noci´on de derivada. Su origen fue, por una parte,
el problema de hallar latangente en un punto a una curva y, por otra, el c´alculo de la velocidad
instant´anea de una part´ıcula m´ovil. El matem´atico franc´es Pierre Fermat (1601-1665) observ´o
que, en aquellos puntosen los que una curva tiene un m´aximo o un m´ınimo, la tangente ha de
ser horizontal. Por lo tanto, el problema de localizar estos puntos extremos es el de buscar las
tangentes horizontales. Estaidea conduce a una cuesti´on m´as general: determinar la tangente en
un punto arbitrario de la curva. Al intentar resolver este problema Fermat descubri´o algunas ideas
rudimentarias queapuntaban a la noci´on de derivada. Sin embargo, fueron el ingl´es I. Newton
(1642-1727) y el alem´an G. Leibniz (1646-1716) quienes, comprendiendo la relaci´on entre este
concepto y el por entoncesya conocido c´alculo integral, estudiaron profundamente el concepto
de derivada interpret´andola tambi´en desde el punto de vista de la mec´anica e inaugurando as´ıuna
nueva etapa en eldesarrollo de las Matem´aticas.
El concepto de derivada se motiva geom´etricamente observando que la recta tangente a la
gr´afica de una funci´on en un punto es l´ımite de las rectas secantes en dichopunto. En la Figura
5.4 se representan varias rectas secantes a la gr´afica de una funci´on y = f(_x_) pasando por el
punto (_x_0_, f_(_x_0). Intuitivamente, a medida que el otro punto de corteentre la correspondiente
recta y la gr´afica de f se aproxima a x0, la recta secante se aproxima a la tangente y, por tanto, lo
propio sucede con las pendientes. As´ı, definiremos la pendiente dela recta tangente a la gr´afica
de la funci´on f en el punto x0 como el l´ımite, si existe, de las pendientes de las rectas secantes
que pasan por ese punto. Calculando las pendientes de estas...