Tarea 2 Ed

Facultad de Ingeniería UNAM Ecuaciones diferenciales Grupo 02 Profr. Joel A. García Vargas 2013-2 Tarea 2 SOLUCIÓN Fecha de entrega: miércoles 13 de febrero de 2013 Alumno:

Resolver las siguientesED exactas, sujetas a la condición inicial indicada.

1. y + 2 x e x + (x + cosy) y′ = 0; y(0) = /
2

π 2
2

La ED puede escribirse como : (y + 2 x e x )dx + (x + cosy)dy == e x ;N = 0; M y +2 x x+ cosy ∂M ∂N ; La ED es exacta. = 1= ∂y ∂x f(x, y) = ∫ ( x+ cosy)dy+ h(x) = xy+ seny+ h(x)
2 ∂f x2 = y+ h′(x) = y + 2 x e= 2 x e x ⇒ h′( x ) ∂x 2

h(x) = ∫ 2 x e x dx+ C1; sea u = x 2 ; du =2 xdx
2

= h(x)

∫e

u

= = du+ C1 eu + C1 e x + C1
2

2

La solución general está dada por : xy+ seny + e x = C Usando la condición inicial se tiene que : π sen + e0 = C; ⇒ C = 2 2Finalmente se tiene que la solución está dada por : xy+ seny+ e x = 2
2

2.

x y y′ + 2 2 + 1- y′ = 0; y(1) = 1 / x2 + y2 x + y

Es conveniente conservar el denominador x 2 + y 2 La ED puedeescribirse como : x y x y ( 2 2 + 1)dx + ( 2 2 -= = 2 2 - 1 1)dy = 0; M 2 2 + 1; N x +y x +y x +y x +y -2 x y ∂M ∂N ; La ED es exacta. = = 2 2 2 ∂y (x + y ) ∂ x

f(x, y) = ∫ ( f(x, y) =

x + 1 )d x +h(y); sea u = x 2 + y 2 ; du = 2 x dx 2 2 x +y

1 du 1 1 2 2 ∫ u + x + h(y) = 2 Lnu + x + h(y) = 2 Ln(x + y ) + x + h(y) 2 y ∂f 1 2 y + h′(y) = 2 2 - 1 ⇒ h′(y) = -1; h(y) = - y + C1 2 2 ∂y 2 x + y x+y La solución general está dada por : 1 Ln(x 2 + y 2 ) + x − y = C 2 Usando la condición inicial se tiene que : 1 Ln(2) + 1- 1= C; ⇒ C = Ln 2 2 Finalmente se tiene que la solución particular estádada por : 1 Ln(x 2 + y 2 ) + x − y = 2 Ln 2
3. y e xy + 2 x - 2 x y + (x e xy + 3 y 2 - x 2 ) y′ = 0; y(0) = 1 / La ED puede escribirse como : (y e xy + 2 x - 2 x y)dx + (x e xy + 3 y 2 - x 2 )dy = + 2x - 2 x y; 0; M = y e xy ∂M ∂N ; La ED es exacta. = e xy + x y e xy - 2 x = ∂y ∂x f(x, y) = ∫ ( y e xy + 2 x - 2 x y)d x+ h(y); sea u = x y; du = y dx f(x, y) = ∫ eu du + x 2 - x 2 y + h(y) eu + x...