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Matriz de una Transformaci´n Lineal o
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 17 de junio de 2008

´ Indice
23.1. Matriz de una Transformaci´n Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 23.2. Toda transformaci´n Lineal es Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 23.3. Operativa del Trabajo con Transformaciones . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5

23.1.

Matriz de una Transformaci´n Lineal o

Sea T : V → W una transformaci´n lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. o ′ ′ ′ Sea B = {v1 , . . . , vn } una base de V y B = {v1 , . . . , vn } una base de W . La matriz A m × n cuyas columnas son: [T (v1 )]B′ , . . . , [T (vn )]B′ es la unica matriz que satisface ´ [T(v)]B ′ = A[v]B para todo v ∈ V . Definici´n 23.1 o La matriz A de la afirmaci´n anterior se llama matriz de T con respecto a B y a B ′ . o ′ Si V = W y B = B , A se llama matriz de T con respecto a B. Ejemplo 23.1 Suponga que T : R3 → R3             0 0  0 0   1  1 B =  0  ,  1  ,  0  , B′ =  0  ,  1  ,  0  ,     0 0 1 0 0 1 [T ]B Determine
B′

y que

 −3 02 =  −3 3 3  −1 3 2  3 T  −1  −4 



Soluci´n o ′ ′ Tenemos que la matriz [T ]B cumple [T (v)]B ′ = [T ]B [v]B . Si B B hacemos:    1 0 0 3 [B|v] =  0 1 0 −1  →  0 0 1 −4

v =< 3, −1, −4 >, entonces para obtener [v]B  3 1 0 0 0 1 0 −1  0 0 1 −4

Por tanto, [v]B =< 3, −1, −4 > y de all´ que ı       −17 3 −3 0 2 [T (v)]B ′ =  −3 3 3  ·  −1  =  −24  −14 −4 −1 3 2Por tanto,        1 0 0 −17 T (v) = −17 0  − 24 1  − 14 0  =  −24  0 0 1 −14  Ejemplo 23.2 Suponga que   B=   T : R3 → R3        0 3 2  4 4   4 2  ,  −2  ,  0  , B ′ =  2  ,  5  ,  0  ,    −5 0 −5 3 3 −2     [T ]B Si
B′

y que

 1 −5 −4 4  =  1 −2 0 −4 −3 



 4 [x]B =  0  −1

Determine [T (x)]B ′ . Soluci´n o ′ Directamente dela definici´n de [T ]B : o B [T (x)]B ′ = [T ]B [x]B B     −5 −4 1 4 4 · 0  =  1 −2 −1  0 −4 −3  −21 0  =  3
′

Ejemplo 23.3 Suponga que T : R3 → R3             2  −5 −4  4  −1  −5 B =  4  ,  5  ,  −4  , B ′ =  −5  ,  5  ,  −1  ,     3 2 −2 −1 3 3 2

y que [T ]B Si
B′

 5 −4 1 3 3  = 3 3 −1 0 



 3 [x]B =  −3  5

Determine T(x). Soluci´n o ′ Directamente de la definici´n de [T ]B : o B [T (x)]B ′ = [T ]B [x]B B     5 −4 1 3 3 3  ·  −3  =  3 5   3 −1 0 32 =  15  12
′

Por tanto,        −1 −5 2 −82 T (x) = 32 −5  + 15 5  + 12 −1  =  −97  −2 2 3 2  Ejemplo 23.4 Suponga que T : R3 → R3             −1 0  1 3 −4   1  B =  1  ,  −5  ,  0  , B ′ =  −4  ,  −2  ,  1 ,     0 1 2 −2 −2 −2 [T ]B B Si
′

y que

 −1 0 0 =  4 −1 3  0 0 5  4 x =  −2  0 



Determine T (x). Soluci´n o Si x =< 4, −2, 0 >, entonces para obtener  1 [B|x] =  1 0

[x]B hacemos:    1 0 0 11/2 −1 0 4 −5 0 −2  →  0 1 0 3/2  0 0 1 −3/4 1 2 0

3

Por tanto, [x]B =< 11/2, 3/2, −3/4 > y de all´ que ı       −11/2 11/2 −1 0 0 ′ [T (x)]B ′ = [T ]B [x]B = 4 −1 3  ·  3/2  =  73/4  B −15/4 −3/4 0 0 5 Por tanto,        1 3 −4 257/4 T (x) = −11/2 −4  + 73/4 −2  − 15/4 1  =  −73/4  −2 −2 −2 −18 Notas Observe que si [B] representa la matriz cuyas columnas son los vectores de B: Para obtener [x]B dados B y x, se realiza el c´lculo [B]−1 x. a Para obtener y dados [y]B ′ y B ′ , se realiza [B ′ ] · [y]B ′ . Ejemplo 23.5 Suponga que T :R3 → R3 se define como    3x − 2z x T  y  =  x + y − z  5x + 4z z    B=  
′



y adem´s a            0  −3 −2 4  0  0 1  ,  −1  ,  4  , B ′ =  1  ,  −4  ,  0  .    −4 1 1 −5 −5 0 se puede representar como:    3 0 −2 x · y  1 1 −1 5 0 4 z

Determine la matriz [T ]B . Soluci´n o B Por las notas anteriores a este ejemplo y como tenemos...