Tareas

Cap´
ıtulo 1
El problema de valor inicial

1.1.

El problema de valor inicial

Al modelizar problemas de la ciencia, la ingenier´ y la econom´ aparecen
ıa
ıa
con frecuencia ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuaci´n diferencial oro
dinaria (en adelante una EDO) es una relaci´n entre una funci´n de una variao
o
ble y sus derivadas. Nosotros nos centraremos en ecuaciones deprimer orden
(la derivada de mayor orden que aparece es la de orden uno) escritas en la
forma est´ndar
a
y (x) = f (x, y(x)),

a ≤ x ≤ b,

(1.1)

donde f : [a, b] × Rd → Rd es continua. Una soluci´n de (1.1) en [a, b] es una
o
funci´n y : [a, b] → Rd , y ∈ C 1 ([a, b]) que satisface (1.1). En el caso vectorial,
o
d > 1, que se puede interpretar como un sistema de ecuaciones escalares, yy

f tienen d componentes cada una,
y = (y 1 , y 2 , . . . , y d )T ,

f = (f 1 , f 2 , . . . , f d )T .

Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en general no define por
1

s´ s´lo una soluci´n unica, y se hace necesario a˜adir a la formulaci´n del
ı o
o ´
n
o
´
problema un cierto n´mero de condiciones adicionales. Estas son o bien “conu
diciones de frontera”, si lainformaci´n adicional se da en dos o m´s valores de
o
a
x, o “condiciones iniciales”, si se especifican todas las condiciones de y en un
unico valor de x. En este cap´
´
ıtulo nos centraremos en el caso en que se dan
condiciones iniciales, y dejaremos el caso en que se dan condiciones de frontera para m´s adelante. As´ pues, dado η = (η 1 , η 2 , . . . , η d )T ∈ Rd , buscamos
a
ı

unasoluci´n del problema de valor inicial (PVI) en [a, b], esto es, una funci´n
o
o
y ∈ C 1 ([a, b]) que satisfaga
y (x) = f (x, y(x))

para a ≤ x ≤ b,

y(a) = η.

(1.2)

Como se puede ver en el siguiente ejemplo, algunos problemas de valor
inicial tienen m´s de una soluci´n.
a
o
Ejemplo. Consideramos la ecuaci´n diferencial y = |y|α sujeta a la condici´n
o
o
inicial y(0) = 0, siendoα un n´mero real fijo, α ∈ (0, 1). Es facil comprobar
u
que para cualquier n´mero real no negativo c,
u
yc (x) =

0,
(1 − α)

1/(1−α)

(x − c)

1/(1−α)

,

0 ≤ x ≤ c,
x ≥ c,

es una soluci´n del problema de valor inicial en el intervalo [0, ∞). As´ pues,
o
ı

si bien el problema tiene soluci´n, ´sta no es unica. Sin embargo, en contraste
o e
´

con el caso α ∈ (0, 1), siα ≥ 1 el problema de valor inicial tiene una unica
´
soluci´n, y(x) ≡ 0.
o

Este ejemplo muestra que hay que pedir a la funci´n f algo m´s que cono
a
tinuidad para asegurar que la soluci´n del problema (1.2) sea unica. Nosotros
o
´
pediremos una condici´n de crecimiento con respecto al segundo argumento de
o
la funci´n.
o
Definici´n 1.1. La funci´n f : D ⊂ R × Rd → Rd satisface unacondici´n de
o
o
o

Lipschitz en D con respecto a su segunda variable si existe una constante L,
2

conocida como constante de Lipschitz, tal que
f (x, y) − f (x, y ) ≤ L y − y
ˆ
ˆ

∀(x, y), (x, y ) ∈ D.
ˆ

Observaci´n. Dado que en un espacio vectorial de dimensi´n finita todas las
o
o
normas son equivalentes, la propiedad de ser Lipschitz no depende de qu´ nore
ma tomemos.
Si f, adem´s de ser continua en D, satisface una condici´n de Lipschitz con
a
o
respecto a su segunda variable, la soluci´n, de existir, ser´ unica. Esto es una
o
a´
consecuencia inmediata del siguiente lema.
Lema 1.2. Sea D = [a, b] × Rd y sea f continua en D y Lipschitz con respecto

a su segunda variable en D. Sean y, y dos soluciones de la ecuaci´n (1.1) en
ˆ
o
[a, b]. Entonces, paratodo a ≤ x ≤ b,
y(x) − y (x) ≤ y(a) − y (a) exp(L(x − a)).
ˆ
ˆ

(1.3)

Prueba. Tenemos que
x
a
x
a

y(x) = y(a) +
y (x) = y (a) +
ˆ
ˆ

f (s, y(s)) ds,
f (s, y (s)) ds.
ˆ

Restando y tomando normas, y usando que f es Lipschitz en su segunda variable se tiene que
y(x) − y (x)
ˆ

≤

≤

y(a) − y (a) +
ˆ

x
a

y(a) − y (a) + L
ˆ

f (s, y(s)) − f (s, y (s)) ds...