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MÉTODO DE CUADRATURA DE GAUSS

INTRODUCCION
Aquí examinamos un procedimiento para obtener una fórmula de integración numérica de orden arbitrario. La técnica de cuadratura Gaussiana que producefórmulas de alto grado utilizando puntos distribuidos en el intervalo de integración en forma no uniforme.

Integración Numérica
Cuadratura gaussiana:
Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizannodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor.Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima.
El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en[a, b] y los coeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de la aproximación

Reglas de Cuadrátura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma

Note que si el integralesta dado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante el cambio de variables

tenemos que

lo cual nos da una integral en [-1,1]. Así que sin pérdida de generalidad podemos asumir queel integral es en [-1,1].
Sean x1,x2,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1,w2,…,wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's sedeterminan de modo que la fórmula de integración numérica

Sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como In é I son operadoreslineales, basta verificar que

Caso n=1: Aquí I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0.Tenemos pues la fórmula numérica I1(f)=2f(0) lo cual se conoce como la fórmula del punto medio.
Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3....