Tareas

Ejercicios Resueltos de Electricidad y Magnetismo
Daniel Mendez Comparan

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Índice general
1. Ley de Coulomb 2. Integrales de Coulomb 3. Ley de Gauss 4. Potencial Electroestatico 5. Conductores 6. Condensadores 7. Dielectricos 8. Corriente Electrica 9. Fuerza producida por un campo magnetico 10.Ley de Biot-Savart 11.Ley de Ampere 12.Ley de Faraday-Lenz 13.Induccion 5 19 39 63 93 103 121143 169 175 181 191 197

NOTA: Los resultados podrian eventuamente tener errores de tipeo. Ante cualquier duda

escribir a: jbgarrid@uc.cl o dnarrias@uc.cl

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ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1
Ley de Coulomb
Problema 1 Dos bolitas idénticas tienen una masa m y carga q. Cuando se ponen en un tazón esférico de radio R con paredes no conductoras y sin fricción, las bolitas se muevenhasta que en la posición de equilibrio están separadas por una distancia R. Determine las cargas de las bolitas.

Solución: Para aplicar la condición de equilibrio es necesario que escribamos todas las fuerzas sobre una de las bolitas cargadas. Para esto consideramos la siguiente conguración para el problema:

La fuerza normal N se puede escribir usando sus componentes rectangulares como: Lafuerza Fe es la ejercida por la bolita de la derecha sobre la bolita de la izquierda y es:
Fe = kq 2 R2 N = N cos(π/3)ˆ + N sin(π/3)ˆ i j

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CAPÍTULO 1. LEY DE COULOMB

Ahora sumamos fuerzas por componente sobre la bolita de la derecha y aplicamos la condición de equilibrio: Fuerza en X:

FX = N cos(π/3) −
Fuerza en Y:

kq 2 =0 R2

(1) (2)

FY = N sin(π/3) − mg = 0
De (2) vemosque

N=
Reemplazando esta expresion en (1):

mg sin(π/3)

mg kq 2 cos(π/3) − 2 = 0 sin(π/3) R
Despejando q

q = ±R

mg cot(π/3) k

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Problema 2

Se tienen dos masas iguales m de misma carga q unidas a través de un segmento vertical jo. La masa inferior está ja al extremo inferior del segmento y la masa superior se puede mover libremente. a) Encuentre la posición deequilibrio de la masa superior. b) Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones de la masa en torno a su punto de equilibrio.

Solución:
a) Las cargas eléctricas son de mismo signo, por lo que la fuerza eléctrica entre ambas es repulsiva. Así, la masa superior experimenta una fuerza eléctrica hacia arriba y su peso hacia abajo, estando en equilibrio cuando ambas fuerzas son iguales. Considerandoesto tenemos, q2 mg = k 2 x0 con x0 posición de equilibrio.

=⇒ x0 = q ·

k mg

(1)

b) Consideremos una coordenada x en torno la posición de equilibrio x0 . Tenemos por 2da ley de Newtón kq 2 d2 x F = m 2 = −mg + dt (x0 + x)2
x Para oscilaciones pequeñas, |x| 0 esta rodeada por una supercie cerrada formada por un manto cónico de radio R y altura H , y una supercie semiesféricaconcéntrica con la carga, según se observa en la gura. Calcule el ujo de campo eléctrico a través del manto cónico.

Solución: La supercie que rodea a la carga q es cerrada. Por la ley de gauss, el ujo a través de la supercie es:
φ=
S

Además, el ujo que atraviesa la supercie cerrada (que llamamos S) será igual a la suma de los ujos que pasen por la semiesfera (que llamamos Se ) y los ujos quepasen por el manto cónico(que llamamos Sc ). Esto se puede escribir como: φ = φe + φc
=⇒ φc = φ + φe (2)

E · dS =

q ǫ0

(1)

De esta manera, encontrando el valor de φe resolvemos el problema inmediatamente. φe se calcula como:
φe =
Se

E · dS
0 2

1 El campo eléctrico producido por la carga q es E = 4πǫ Rq r. Donde r es el vector unitario ˆ ˆ en dirección radial. El vector dStambién esta en dirección radial, ya que dS = ndS y n es ˆ ˆ paralelo a r como muestra la gura: ˆ

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CAPÍTULO 3. LEY DE GAUSS

De esto, se tendrá que

E · dS =

1 q 1 q r · ndS = ˆ ˆ dS 2 4πǫ0 R 4πǫ0 R2

Integrando se obtiene el ujo para la semiesfera:

φe =
Se

E · dS =

Se

1 q 1 q dS = 2 4πǫ0 R 4πǫ0 R2

dS
Se Se

La integral Se dS corresponde al área de la...