TAREAS

CURVAS CÓNICAS I (generalidades)

Tema 7: 2º BACH. CURSO 2009/2010

CURVAS CÓNICAS
Se llaman curvas cónicas a las curvas que se obtienen de la
intersección de una superficie cónica por un plano.

Secciones de un cono
Supongamos un cono de revolución de dos ramas; según sea la
posición de un plano secante respecto del eje del cono, en relación
con el ángulo del vértice, se obtienen lassiguientes curvas:

Circunferencia
Cuando el plano secante es perpendicular al eje de la superficie
cónica, y no pasa por el vértice, la sección es una circunferencia. (β
= 90º)

Elipse
Si el plano secante forma con el eje de la superficie cónica un
ángulo mayor que semiángulo en el vértice del cono, el plano corta a
todas las generatrices y no pasa por el vértice, entonces la sección esuna curva cerrada que se denomina elipse. (α < β )

Parábola
Si el plano secante forma con el eje del cono el mismo ángulo
que el semiángulo en el vértice o , lo que es lo mismo, es paralelo a
una generatriz, la curva que resulta es abierta con un punto en el
infinito llamada parábola (α = β ).

Hipérbola
Cuando el plano secante forma con el eje del cono un ángulo
menor que semiánguloen el vértice, entonces el plano corta a las dos
ramas del cono y la sección es una curva abierta de dos ramas que se
llama hipérbola. (α > β )

Rafael Quintero / Dep. Dibujo

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Tema 7: 2º BACH. CURSO 2009/2010

Focos, directrices y circunferencias focales,
excentricidad
Focos

(dibujo para completar)

El foco olos focos de una curva cónica son los puntos de tangencia
del plano secante que produce la cónica con las esferas inscriptas al
cono que sean, a la vez, tangentes al plano (teorema de Dandelín).
Los focos son llamados puntos notables de las cónicas. La elipse y la
hipérbola tienen dos focos y la parábola sólo uno.

Rafael Quintero / Dep. Dibujo

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Directrices
Se denomina directriz de una curva cónica a la recta de intersección
del plano secante con el plano que contiene a la circunferencia de
tangencia entre el cono y la esfera que, siendo tangente al plano
secante, está inscrita en la circunferencia cónica.
La elipse y la hipérbola tienen dos directrices y la parábolasólo una.

Circunferencia principal
Es aquella que tiene por centro el centro de la curva y por diámetro la
longitud del eje real. En la Elipse y la Hipérbola d=V1V2 , en la
parábola es de radio infinito

Circunferencias focales:
Son aquellas que tienen por centro los focos y de radio la longitud del
eje real , en la parábola es de radio infinito-

Excentricidad:
Dado un puntocualquiera de una cónica se llama excentricidad a la
razón constante de las distancias de dicho punto al foco y a la
directriz correspondiente.
En la elipse:
e= AF2/AD < 1
En la parábola : e= AF/AD=1
En la hipérbola: e= AF2/AD > 1

Rafael Quintero / Dep. Dibujo

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F

H IP É R B O L A(dibujo para completar)

ELIPSE
Definición y propiedades
La elipse es una curva cerrada y plana, lugar geométrico de los
puntos que cumplen con la condición de que la suma de distancias a
tros dos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a 2 a, siendo
2 a la longitud del eje mayor MN de la elipse.

Propiedades
 La elipse tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en elpunto O, centro de la curva.
 Simetría: la elipse también es simétrica respecto a los dos ejes
y, por tanto, respecto del centro O.
 Ejes: el eje mayor MN se le llama eje real y vale 2a y el eje
menor ST es el eje virtual y vale 2b.
 Distancia focal: la distancia focal F1 F2 vale 2c. Los focos están
siempre en el eje real.
 Radios vectores: son las rectas PF1 y P F2 que unen cada punto...