tareas

Factor común[editar]


Representación gráfica de la regla de factor común. Forma un gnomon.
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

c (a + b) = c a + c b \,
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

c (a + b) \, (el producto de la base porla altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb
Ejemplo:

3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,
Cuadrado de un binomio[editar]


Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

(a + b)^2 = a^2 + 2a b + b^2 \,
[Expandir] Demostración
La expresión siguiente: a^2 + 2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
[Expandir] Demostración
Ejemplo:

(2x - 3y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3y) + (3y)^2 \,
Simplificando:

(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,
Producto de binomioscon término común[editar]
Dos binomios con un término común[editar]


Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:

(x+a)(x+b) = x^2+( a + b )x + a b \,
[Expandir] Demostración
Ejemplo:

(x+4)(x-7) = x^2 -3x -28\,
(2y-1)(2y-3) = (2y)^2 +(-1-3)(2y)+ ((-1)(-3)) = 4y^2 -8 y +3
Tres binomios con término común[editar]
Fórmula general:

(x + a) (x +b) (x + c) = x^3 + (a + b + c) x^2 + (ab+ca+cb)x +abc
n binomios con término común[editar]
Fórmula general:

(x+a_1)\cdot \dots \cdot (x+a_n)= x^n + (a_1+\dots +a_n) x^{n-1}+( (a_1 a_2 + a_1 a_3+\dots a_1 a_n)+(a_2 a_3 +\dots +a_2 a_n)+\dots +(a_{n-1}a_n))x^{n-2}+\dots (a_1\cdot \dots \cdot a_n)
xn + (suma de términos no comunes agrupados de uno en uno)xn-1 + (suma de términos no comunes agrupados de dos en dos)xn-2 +… + (producto del número de términos)

Producto de dos binomios conjugados[editar]
Véase también: Conjugado (matemática)


Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de laoperación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \,
Ejemplo:

(3x+5y)(3x-5y) = \,
(3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) \,
Agrupando términos:

(3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 \,
A este producto notable también se le conocecomo suma por la diferencia.

En el caso (p-a+b+c) = (p-a-b-c) = (p-a)^2 -(b+c)^2 1 , aparecen polinomios.
Cuadrado de un polinomio[editar]


Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.(a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) \,
(a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) \,
Ejemplo:

(3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) \,
Multiplicando los monomios:

(3x+2y-5z)^2 = 3x \cdot 3x + 3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5z) \,
+ 2y \cdot 3x + 2y \cdot 2y + 2y \cdot (-5z) \,
+ (-5z) \cdot 3x + (-5z) \cdot 2y + (-5z) \cdot (-5z) \,
Agrupando términos:

(3x+2y-5z)^2 =9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) \,
Luego:

(3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz \,
Romper moldes
x(x+1)(x+2)(x+3)+1 = (x^2+3x+1)^2 . 2
Cubo de un binomio[editar]


Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El...