tasa de interes con cambios de periodo de capitalizacion

1
La Capitalización con una Tasa de Interés Compuesta
La capitalización con interés compue
sto, a diferencia del caso del
interés simple, se caracteriza porque ocasiona que el valor futuro de
un capital aumente de manera exponencial y no de manera lineal.
Sea un capital inicial de 1,000.00 un
idades monetarias (u.m.), una tasa
de interés mensual del 10%, y un
horizonte de tiempo dedos meses.
El valor futuro a fines del periodo “1” será:
)1.0).(1000(1000
1
+
=
S
Se puede observar que en el prim
er periodo de capitalización, el
resultado es el mismo que el del ca
so del interés simple. A fines del
periodo “2”, la capitalización se hará en base al valor futuro hallado a
fines del primer periodo y no en base al
capital inicial, como es el caso
del interés simple.En tal sentido,
tendremos la siguiente fórmula:
)1.0)).(1.0).(1000(1000()1.0).(1000(1000
2
+
+
+=
S
lo cual sería lo mismo plantear los siguiente:
)1.0.(
222
SSS
+
=
efectuando arreglos tendremos:
..00.1210)1.01.(1000
2
2
mu
S
=+=
2
Si la capitalización de un capital “P
” se efectúa “n” periodos, se podrá
plantear una ecuación general para el
valor futuro con tasa deinterés
compuesta “i” de la siguiente manera:
n
n
iPS
)1.(
+=
Esta ecuación puede ser graficada en
un espacio “valor futuro” versus
“periodos de tiempo” de
la siguiente manera:
S
P
n
Crecimiento exponencial
con base “(1+i)” y
exponente los periodos de
tiempo
Figura Nº 1
El Valor Presente
El proceso de actualización es el inve
rso del proceso de capitalización.
Para obtener un valorpre
sente deberá “actualizarse” un valor futuro,
debiendo tener como información la tasa
de interés ”i”, un valor futuro
“S” y una cantidad de perio
dos de actualización.
3
Conociendo la ecuación del valor fu
turo, se puede deducir fácilmente
la del valor presente, la misma que a continuación se plantea:
n
i
S
P
)1(
+
=
Supongamos que una persona desea t
ener dentro de dos mesesla
cantidad de 1,210.00 u.m. sabiend
o de antemano que una institución
financiera paga una tasa de interés
mensual del 10%, la pregunta
será: ¿cuánto tendrá que depositar
esta persona para lograr su
objetivo? Si aplicamos la ecuación anterior tenemos que dicha
persona deberá deposit
ar una cantidad de
1,000.00 u.m.
Visto de otro ángulo, si la misma persona tiene pleno conocimiento
quedentro de dos meses recibirá
una cantidad de 1,210.00 u.m. y
decide hoy endeudarse de tal m
anera que en dos
meses pueda pagar
la deuda, es decir, el principal
y los intereses, la pregunta a ser
formulada sería la siguiente: ¿c
uánto podrá ser la deuda hoy de esta
persona sabiendo que en dos meses tendrá un monto de 1,210.00
u.m. para pagarla?. La respuesta
será: la persona podráendeudarse
hasta por 1,000 u.m.
a ser pagados en dos me
ses con una tasa de
interés del 10% mensual.
4
El Interés Acumulado
En el siguiente gráfico se puede ob
servar el proceso de capitalización
y la formación del in
terés acumulado (I).
Pago = Principal (P) + Interés (I)
)1.(
1
iPS
+=
2
12
)1.()1.(
iPiSS
+=+=
S
0 (primera capitalización) 1
(segunda capitalización) 2
P
= deudai
P
I
iPI
PiPI
PSI
.
)1)1((
)1.(
1
=
−+=
−+=
−=
)1)1((
)1.(
2
2
2
−+=
−+=
−
=
iPI
PiPI
PSI
Figura Nº 2
En la figura Nº 2 se puede apreciar el
proceso de la capitalización y la
generación del interés acumulado (I)
para el primer y segundo periodo.
El interés del primer periodo coincide
con el interés simple en vista que
la tasa de interés se aplica al principal“P”, el mismo que aún no ha
variado. En el caso del periodo do
s, el interés es aplicado sobre el
nuevo capital que se ha formado al final del periodo uno como
5
producto de la primera capitalización.
En tal sentido el nuevo capital a
fines del periodo uno se basa en el capi
tal inicial, pero el capital final, a
fines del periodo dos, tiene como base
el capital formado a fines del...