TECNICAS DE CONTEO

TÉCNICAS DE CONTEO
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
La enumeración de puntos muestrales en un espacio muestral, en ocasiones esdifícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, propiciando que se puedan cometer errores al emprender esa tarea. En estos casos se recurre al análisis combinatorio, que es una manera más sofisticada de contar.
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO
Si un evento puede suceder o realizarse de n maneras diferentes y si , continuando el procedimiento un segundo ejemplo puede realizarse den1 maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto n1 x n2 x n3
A continuación presentaremos 3 de las llamadas técnicas de conteo de eventos:
Principio fundamental de la multiplicación
Permutaciones
Combinaciones

Reglas Generales del Conteo
Principio fundamental de la multiplicación
Si loseventos A y B pueden ocurrir de m y n maneras distintas respectivamente, entonces el total de maneras distintas en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado es mxn.
Esta regla puede extenderse a tantos eventos como se quiera. El número total de posibilidades es el producto del número de posibilidades de cada evento. Por ejemplo, si los eventos A, B, C y D pueden ocurrir de m, n, o y pmaneras distintas respectivamente, entonces el total de formas diferentes en que estos eventos pueden ocurrir en ese orden, es m x n x o x p.
Ejemplos:
1. Una persona para vestirse tiene la posibilidad de escoger entre 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 4 blusas. ¿De cuantas maneras puede combinar las prendas?
Solución:
Conocemos que hay dos posibilidades de combinar los pares de zapatos (Z= 2), los pantalones de 3 maneras (P = 3) y las blusas de 4 (B = 4). Entonces:
Z x P x B = 2 x 3 x 4 = 24
Existen 24 posibilidades de combinar las prendas.
2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 personas en una fila?
Solución:
La primera posición en la fila (P1), puede ser ocupada por cualquiera de las 7 personas (P1 = 7); la segunda posición por 6 (P = 6) y así, sucesivamente.
P1 x P2x P3 x P4 x P5 x P6 x P7 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040

PERMUTACIONES:
A través de la regla multiplicativa se puede obtener, como ya se trató, el número total de posibilidades, pero frecuentemente interesa calcular el número posible de arreglos de un grupo de objetos. Se está ahora interesado no sólo en calcular el total de posibilidades sino también en la secuencia en que aparecenlos elementos.
En este tipo de problemas el orden de selección de los elementos hace diferente cada selección aunque consten de los mismos. Por ejemplo, si se habla de las placas de automóviles, aunque dos placas tengan las mismas letras y números, en orden diferente son placas diferentes. Una placa ABC123 no es la misma placa que CBA321aunque ambas placas tengan los mismos elementos. A este tipode elecciones o arreglos se les llama permutaciones. La permutación se define como:
Un arreglo de “r” objetos seleccionados de una grupo de “n” objetos distintos, donde r < n, y el orden es importante, se llama una permutación de “n” objeto tomando “r” a la vez.
El número de permutaciones posible está definido por la siguiente fórmula:
nPr =
Donde:
n = total de objetos
r = número deobjetos a permutar
nPr se lee número de arreglos posibles de “r” objetos de un total de “n”.
Recordar:
a. n! se lee “n” factorial y está definido por: n! = n (n – 1) (n – 2)…1
Ejemplo: 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120; 3! 4! = (3)(2)(1)(4)(3)(2)(1) = 144
b. 0! = 1
Ejemplo:
Calcular el número de permutaciones de las letras a, b, c, tomadas de dos en dos.
Solución:
Si se obtienen los arreglos...