Tecnicas De Conteo

CAPITULO 2 TÉCNICAS DE CONTEO En el cálculo de las probabilidades se debe poder determinar el número de veces que ocurre un evento o suceso determinado. Es muchas situaciones de importancia práctica es imposible contar físicamente el numero de ocurrencias de un evento o enumérelos uno a uno se vuelve un procedimiento engorroso. Cuando se está frente a esta situación es muy útil disponer de unmétodo corto, rápido y eficaz para contar. A continuación se presentan algunas de estas técnicas, denominadas técnicas de conteo o análisis combinatorio, entre las cuales se tienen: el principio fundamental del conteo, permutaciones, variaciones, combinaciones, la regla del exponente y el diagrama de árbol. 2.1 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO En la teoría fundamental del conteo se tienen dosprincipios básicos, que son la base para desarrollar otros conceptos como permutaciones y combinaciones que se verán más adelante. Principio de multiplicación o multiplicativo Algunos problemas de probabilidad pueden resolverse aplicando este principio. Suponga que una persona desea preparar un almuerzo para sus amigos y tiene dos recetas para la sopa, tres para el plato principal y dos para el postre.¿De cuántas maneras puede el anfitrión hacer su menú? En la figura 5 se señalan todas las maneras posibles para preparar el almuerzo. Figura 2.5 Diagrama de las posibles opciones para preparar un menú

Las alternativas que tendrá son: {1,3,6} {1,3,7} {1,4,6} {1,4,7} {1,5,6} {1,5,7} {2,3,6} {2,3,7} {2,4,6} {2,4,7} {2,5,6} {2,5,7} En total se tienen 12 maneras diferentes de preparar un deliciosoalmuerzo. Aplicando el principio de multiplicación se tiene: 2 x 3 x 2 = 12 Generalizando, si un evento determinado puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si, además, un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes y así

sucesivamente, y si al mismo tiempo cada evento es independiente del otro, entonces el número demaneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto:

Principio aditivo Este principio tiene las mismas premisas del principio multiplicativo, pero con la condición no de que los eventos sean independientes sino de que sean mutuamente excluyentes, es decir que cada uno ocurra sin la necesidad de que otro lo haga. El número total de maneras en las que puedenrealizarse los eventos es la adición: Suponga, ahora, que la persona que prepara el menú para sus amigos preparará pescado como plato principal. Para preparar el pescado, él encuentra cinco maneras diferentes de hacerlo al horno, dos para hacerlo frito y tres para prepararlo cocido. ¿De cuántas maneras diferentes puede cocinar su pescado? Cada una de las maneras de preparar el pescado es excluyente de lasotras dos. Es decir, si el cocinero decide preparar el pescado cocido, ya no podrá prepararlo ni frito ni al horno; de igual manera sucede si decide hacerlo al horno o frito. Así que en total, y de acuerdo con el principio aditivo, sólo hay 5+2+3=10 maneras diferentes de cocinar el pescado. Figura 2.6 Esquema de interpretación de los principios multiplicativo y aditivo

El esquema de la figura2.6 ilustra una interpretación sencilla de ambos principios1. Más adelante se desarrollan los conceptos de eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes, pero ya inicia un primer acercamiento a ellos. 2.2: FACTORIAL DE UN NÚMERO En el análisis combinatorio interviene con mucha frecuencia el concepto de factorial de un entero no negativo n. Este se denota por el símbolo n! y se definecomo el producto de n por todos los enteros que le preceden hasta llegar al uno. Simbólicamente queda expresado como:

1

Modificado de Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias, Gabriel Velasco S. y Piotr Marian Wisniewski. Thomson Learning. México. 2001

La excepción es el caso de 0! El cual conviene definirlo como igual a 1 con objeto de preservar la validez de las fórmulas...