Tema 1 Algebra

Tema 1

Matrices

1.1.

Conceptos b´sicos y ejemplos
a

Definici´n 1.1.1. Dados dos n´meros naturales m y n, una matriz de orden o dimensi´n m × n
o
u
o
es una tabla num´rica rectangular con m filas y n columnas.
e
Los elementos de las matrices podr´n ser tanto n´meros reales como complejos. La teor´
a
u
ıa
no var´ de unos a otros, pero para simplificar en la mayor´ de losejemplos y de los ejercicios
ıa
ıa
consideraremos n´meros reales.
u
Las matrices se suelen denotar por letras may´sculas: A, B , X ,... y los elementos de una matriz
u
se denotan con la misma letra que la matriz pero en min´scula, y con dos sub´
u
ındices representando
la fila y la columna en la que se encuentra el elemento. Cuando escribimos una matriz por medio
de sus elementos, escribimosestos en forma de tabla y delimitados por par´ntesis. Por ejemplo,
e
escribimos una matriz gen´rica de orden m × n como
e


a11 a12 a13 ... a1n


 a21 a22 a23 ... a2n 


A =  a31 a32 a33 ... a3n  .




...
... ... ... 
 ...
am1 am2 am3 ... amn
Otras formas abreviadas de denotar la misma matriz son
A = (aij )i=1,...,m ,
j =1,...,n

A = (aij )m,n ,

osimplemente A = (aij ).

28

Matrices

Se define la relaci´n de igualdad entre matrices de la siguiente manera.
o
Definici´n 1.1.2. Dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensi´n m × n y si
o
o
aij = bij para cualesquiera 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n, es decir, si coinciden elemento a elemento.
Algunos casos especiales de matrices seg´n su orden son los siguientes.
u
Definici´n 1.1.3.Se dice que una matriz A es una matriz cuadrada si m = n. En este caso
o
podemos decir simplemente que la matriz es una matriz cuadrada de orden n. Se dice que una
matriz es una matriz fila o vector fila si m = 1, es decir, si tiene una unica fila. An´logamente,
´
a
una matriz es una matriz columna o vector columna si n = 1, es decir, si tiene una unica
´
columna. Se sobreentiende que unamatriz fila de orden n es una matriz de orden 1 × n, y una
matriz columna de orden m es una matriz de orden m × 1.
En el caso particular de las matrices cuadradas, podemos definir su diagonal y su traza.
Definici´n 1.1.4. Dada una matriz cuadrada, se define su diagonal principal, o simplemente
o
su diagonal, como el conjunto de todos los elementos de A del tipo aii . La suma de los elementos
de ladiagonal principal de una matriz cuadrada se llama traza:
n

aii .

tr(A) =
i=1

Por ultimo, introduciremos el concepto de submatriz.
´
Definici´n 1.1.5. Dada una matriz A, llamaremos submatriz de A a cada matriz que se obtenga
o
de ella suprimiendo algunas de sus filas y columnas.

1.1.1.

Tipos particulares de matrices

Veamos ahora algunos casos particulares de matrices cuadradasde especial relevancia. Sea A
una matriz cuadrada de orden n. Entonces, se dice que:
• A es una matriz sim´trica si para cualesquiera i, j con 1 ≤ i, j ≤ n se tiene que aij = aji .
e
• A es una matriz antisim´trica si para cualesquiera i, j con 1 ≤ i, j ≤ n se tiene que
e
aij = −aji . En particular, los elementos de la diagonal de una matriz antisim´trica valen
e
cero.
• A es una matrizdiagonal si todos los elementos que no pertenezcan a la diagonal valen
cero. En el caso particular en que todos los elementos de la diagonal valgan 1, la matriz se
llama matriz identidad o matriz unidad, y se denota por In donde n es el orden de la
matriz. Cuando no haya lugar a confusi´n con respecto al orden de la matriz, denotaremos
o
la matriz identidad simplemente por I .

1.2Operaciones b´sicas con matrices
a

29

• A es una matriz triangular superior (inferior, respectivamente) si todos los elementos
por debajo (por encima, respectivamente) de la diagonal son cero.
Por otro lado, supongamos que A es una matriz, no necesariamente cuadrada, de orden m × n.
Llamaremos pivote de una fila de A al primer elemento no nulo de dicha fila (si es que existe).
Entonces se dice...