Tema 1_Diapositivas Aula

18/01/2015

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
FUNDAMENTALES
Tema I – Estadística II
GRADO DE ADE

Profesora: Mª Cruz Ramírez

Estadística II

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD FUNDAMENTALES
Distribuciones discretas
Binomial
Poisson
Distribuciones continuas
B.1. Distribución uniforme o rectangular
B.2. Distribución normal
B.2.a) Distribución normal (0;1)
B.2.b) Distribución normal (µ; σ)
B.3.Distribución Chi-cuadrado de Pearson
B.4. Distribución t de Student
B.5. Distribución F de Fisher-Snedecor
Teorema Central del Límite
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Binomial (1;p) o de Bernouilli:
Fenómeno aleatorio que se realiza una sola vez

ξ = B (1; p )

• Dos posibles sucesos (dicotómico): A (Sí) y Ā (No)
• Sucesos mutuamente excluyentes (no se pueden dar a la
vez)
• Necesariamente seha de presentar alguno de ellos
• Formulación de la V.A.:

Α →1

P(ξ = 1) = p

Α→0

P(ξ = 0) = q

p + q =1

• Cumpliéndome
Estadística II

Binomial (1;p) o de Bernoulli:
F. Cuantía:

P ( ξ = x ) = p x ⋅ q 1 − x ; x = 0;1

F. Distribución:

F ( x ) = P (ξ

 F ( x) = 0
≤ x ) =  F ( x ) = p
 F ( x) = 1


x<0
0 ≤ x < 1;
x ≥1

Esperanza matemática:
E (ξ ) = p
Varianza:
V (ξ ) = p ⋅ q
Desviacióntípica:
σ = + p⋅q
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Binomial (n;p)
Características:
- Fenómeno aleatorio consistente en la repetición “n” veces
de un fenómeno dicotómico.
- Siempre que el resultado de cada realización sea
independiente de los demás.
Formulación de la V.A.:

ξ = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 + ..... + ξ n
d o nd e ξ i = B (1; p ) in d epen d ien tes
⇒ ξ = B (n; p )
S ea nEstadística II

Binomial (n; p)
• Función de cuantía

n!
⋅ p
x !( n − x ) !
p a r a x = 0 , 1, 2 , 3 . . . . . n

P (ξ = x ) =

n

∑ P (ξ

x

⋅ q n−x ;

= x) = 1

x=0

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Binomial (n;p)
Función de Distribución:

F ( x ) = P (ξ ≤ x )

x<0 ;

F ( x) = 0

0 ≤ x < 1;

F ( x) = P (ξ = 0)

1 ≤ x < 2;
2 ≤ x < 3;

F ( x) = P (ξ = 0) + P (ξ = 1)
F ( x ) = P (ξ = 0) + P(ξ = 1) + P (ξ = 2)

...............
x≥n

n

F ( x ) = ∑ P (ξ = x ) = 1
x =0

Estadística II

Binomial (n;p)
• Esperanza matemática:
• Varianza:
• Desviación típica:

E (ξ ) = n ⋅ p

V (ξ ) = n ⋅ p ⋅ q
σ = + n⋅ p⋅q

• Propiedad aditiva: La suma de v.a. independientes B (n;p)
también se distribuye como v.a. binomial:
Siendo:
entonces:
ξ 1 = B ( n1 ; p ) 
γ = B ( n1 + n2 ; p )
 γ = ξ1 + ξ 2
ξ 2 = B( n2 ; p ) 
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POISSON

ξ

P (λ )

Poisson determinó esta distribución como límite de la B (n;p)

E(ξ ) = n ⋅ p = λ cons tan te
Sea ξ = B(n; p) donde 
n →∞, y p → 0
Entonces ξ = P(λ)
Baremo de aproximación: B (n;p)
considera una Poisson.

ξ = P (λ ) s ie n d o

con

n > 30;

p ≤ 0,1 se

λ = n.p

Estadística II

Poisson
Otra perspectiva: es una delas distribuciones que se enmarcan en un
proceso de Poisson:
Se denomina proceso de Poisson a la aparición de un suceso concreto
de manera continuada. Siempre y cuando:
El proceso sea estable: produce, a largo plazo, un número medio
de sucesos constante por unidad de observación (tiempo,
espacio…)
Los sucesos aparecen aleatoriamente, de forma independiente.
En este contexto se pueden estudiar dossituaciones:
1. Tiempo entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos
(distribución exponencial)
2. Número de sucesos en un intervalo de longitud fija (distribución
de Poisson)

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Poisson

Se la denomina la ley de sucesos raros porque el intervalo
de longitud fija se puede dividir en subintervalos muy
pequeños en los que la ocurrencia de un suceso esB(1;p)
Ejemplos :
Averías de máquinas
Fabricación de piezas defectuosas en cadena montaje
Llegadas de aviones a un aeropuerto
Llamadas recibidas en una centralita
Llegada de usuarios a un punto de servicio (sucursal
bancaria, tienda, gasolinera, caja de supermercado…)
Estadística II

Poisson
• Función de Cuantía (surge como límite de la cuantía de la
B (n;p)
P (ξ = x ) =

λx
x!

⋅ e −λ ;

•...