Tema 1 Números Reales

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NÚMEROS REALES

PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
El número áureo Para hallar la relación entre la diagonal y el lado del pentágono regular, da los siguientes pasos:
B

a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes. Recordamos los ángulos de un pentágono:

A

C F E D

1º .
β

β α 2β

360° 180° – 72° α= = 72°; β = = 54°; 2β = 108° 5 2

. 2º
γ108°

γ

γ

γ=

180° – 108° = 36° 2

γ

B

3º .
36°

B = 108° – 2 · 36° = 36° E=D=
^ ^

^

180° – 36° = 72° 2

E B γ 36°

D

Sabíamos que γ = 36°. El triángulo BEC es idéntico al BED :
^ ^ ^ ^

F

C

C = E = D = 72° ⇒ F = 72°

Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales ⇒ son semejantes.

Unidad 1. Números reales

1

B

b) Llamando l = BE = BD = ECy tomando como unidad el lado del pentágono, BC = BF = ED = EF = 1, a partir de la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación: l = 1 1 l–1 Despejando l obtendrás su valor. Por ser semejantes (apartado a)) ⇒ Despejamos l : l (l – 1) = 1 ⇒ l 2 – l – 1 = 0 ⇒ l =

A 1

C F E D

— — BD ED l = 1 . — = — , es decir: BC FC 1 l–1 1 ± √1 + 4 1 ± √5 = 2 2

Como l es una longitud, lasolución válida es la positiva: l= 1 + √5 . Este es el número áureo, Φ 2

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El rectángulo áureo
A M B

El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial ABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso, el rectángulo es áureo, es decir: AB = Φ (número de oro) AD

D

N

C

Tomamoscomo unidad el lado pequeño del rectángulo: AD = BC = 1, y llamamos x = MB = NC . Así: A 1 M x B

1

1 x

1

D

1

N

C 1+x 1 = 1 x

Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que: Despejamos x :

x (1 + x) = 1 ⇒ x 2 + x – 1 = 0 → x =

–1 ± √ 1 + 4 –1 ± √ 5 = 2 2

Unidad 1. Números reales

2

Como x es una longitud, la solución válida es la positiva: x= –1 + √ 5 2Hallamos la razón entre los lados del rectángulo: — AB –1 + √ 5 2 – 1 + √5 1 + √5 1+x =1+x=1+ = = =Φ — = 2 2 2 1 AD Obtenemos el número de oro.

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1. Halla gráficamente √6 y √13 . 2 — √6 — √5 1 1 2 2. Inventa dos números irracionales dados en forma decimal. Por ejemplo: 2,01001000100001 … 3,122333444455555 … 3. Razonando sobre la figura del margen, CONSTRUCCIÓN que si AB = AC = 1, entonces BD= Φ. 1 • Si AC = 1, entonces OA = OC = OD = . 2 1 • Si OA = y AB = 1, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que: 2 OB =
DEL NÚMERO ÁUREO,

— √13

3

justifica

√

1 1 + — = √5 2 4

√5 = 1 + √5 = Φ 1 • Por tanto: BD = OD + OB = + 2 2 2

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1. Representa los siguientes conjuntos: a) (–3, –1) b) [4, + ∞) –1 0 3 6 9 c) (3, 9] d) (– ∞, 0)

a) c)
0

–3

b) d)

04 0

Unidad 1. Números reales

3

2. Representa los siguientes conjuntos: a) { x /–2 ≤ x < 5} c) (– ∞, 0) U (3, +∞) b) [–2, 5) U (5, 7] d) (– ∞, 1) U (1, + ∞) 5 3

a) c)

–2

0 0

b)

–2

0 0 1

5

7

d)

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1. Halla los siguientes valores absolutos: a) |–11| d) |0| g) |1 – √2 | a) 11 d) 0 g) |1 – √2 | = √2 – 1 b) |π| e) |3 – π| h) | √2 – √3 | b) π e) π – 3 h) |√2 – √3 | = √3 – √2 c) |– √5 | f) |3 – √2 | i) |7 – √50 | c) √5 f) |3 – √2 | = 3 – √2 i) |7 – √50 | = √50 – 7

2. Averigua para qué valores de x se cumplen las siguientes relaciones: a) |x| = 5 d) |x – 4| ≤ 2 a) 5 y –5 c) 6 y 2 e) x < 2 o x > 6; (–∞, 2) U (6, +∞) b) |x| ≤ 5 e) |x – 4| > 2 c) |x – 4| = 2 f ) |x + 4| > 5

b) – 5 ≤ x ≤ 5; [–5, 5] d) 2 ≤ x ≤ 6; [2, 6] f) x < – 9 o x > 1; (–∞, –9) U(1, +∞)

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1. Simplifica: a) √x 9 d) √8 a) √ x 9 = √ x 3
12 6 4 6 12

b) √x 8 e) √64 b) √x 8 = √ x 2
3 12 9

12

c) √y 10 f) √81 c) √y 10 = y2
3 3 5 8

5

d) √ 8 = √ 23 = √ 2
6 4

e) √ 64 = √ 26 = √ 22 = √ 4
9 9 3

f ) √ 81 = √ 34 = √ 3
8 8

2. ¿Cuál es mayor, √31 o √13 ? Reducimos a índice común:
4

√31 = √29 791 ; Por tanto, es mayor √31 .
Unidad 1....