tensor de tensiones

 TENSOR DE TENSIONES
E n esta sección, la tensión mecánica se cuantifica matemáticamente como un tensor de segundo orden y físicamente por sus invariantes del tensor. En analogía con la mecánica continua (Fung 1965; Timoshenko y goodier 1970, Hahn 1985), considere un cuerpo deformable sometido a algunos conjuntos arbitrarios de cargas en equilibrio (Fig. 2.1). En cualquier punto dado P (¯ x) =P (x1, x2, x3) dentro de este cuerpo, nos imaginamos un plano Un corte a través del cuerpo en un ángulo con respecto al sistema de coordenadas cartesianas con vectores unitarios (¯ e1, e2 ¯ , ¯ e3). El plano de corte ficticio (Sec. 1.1) divide el cuerpo en volúmenes V 1 y V 2, y tiene una normal de ¯ n = (n1, n2, n3) que apunta hacia la V 1. La acción que ejerce sobre V 1 V 2 se denota por unafuerza resultante F = ¯ (F1, F2, F3). El vector de tracción ¯ σ se define como la relación de la fuerza resultante ¯ F a la superficie A (Fig. 2 0.1). Con el fin de definir la tracción que actúa sobre un punto específico P (¯ x) en el cuerpo, el área A ahora se permite a contratar a un punto (dA L 0), de modo que la magnitud Un va a cero.

. figura 2.1 vector de tracción ¯ σ actúa sobre un planohipotético (ficticia) Un corte con superficie normal ¯ n dentro de un cuerpo deformable








En general, el vector de tracción ¯ σ puede variar de un punto a otro, y por lo tanto es una función de la ubicación del punto P (¯ x). Sin embargo, en cualquier punto dado, la tracción será también, en general, ser diferente en diferentes planos que pasan por el punto. Por lo tanto, ¯ σ tambiénserá una función de ¯ n, la unidad hacia el exterior vector normal del plano de corte en lonchas. En resumen, ¯ σ es una función de dos vectores, el vector de posición ¯ x y el vector normal del plano de corte en capas ¯ n. En 1823, el matemático francés Augustin Cauchy Barón (1789-1857) introdujo el concepto de estrés al eliminar-ción de la dificultad que ¯ σ es una función de dos vectores, ¯ σ(¯ x, ¯ n) en el precio que el estrés se convirtió en un tensor de segundo orden (Jaeger et al. 2007). Tenemos tres observaciones acerca de la ecuación. (2.1). En primer lugar, la ecuación. (2.1) es una fórmula empírica, es decir, se confirma con los resultados experimentales. En segundo lugar, no son prácticos evidentes limitaciones en la reducción del tamaño de un área pequeña a cero, pero esimportante que, formalmente, el estrés se define de esta manera como una propiedad de punto. En tercer lugar, la magnitud del vector de tracción total es:



o identificar de forma exclusiva el estrés como un tensor de segundo orden, Cauchy verificó dos leyes. Primera ley de Cauchy se visualiza en la figura. 2.1 y se lee:



ecuación (2.3) es una versión de la tercera ley de Newton "acción= reaccion" Sabemos por la Sección. 1.1. Si el material a la derecha del plano de corte (fig. 2.1, volumen V 1) ejerce una tracción ¯ σ en el material a la izquierda (Fig. 2.1, volumen V 2), entonces el material a la izquierda ejercerá una tracción - ¯ σ en el material a la derecha. El componente cartesiana del vector de tracción en cualquier dirección dada se considera positiva si el productointerno (producto escalar) es negativo. Esto se conoce como la convención de signos mecánica de rocas (compresión positiva), y es incompatible con la mayoría de las áreas de la mecánica que se utiliza la convención ten-sión positiva. La segunda ley de Cauchy que todos los posibles vectores de tracción en un punto (infinidad) que corresponde a todos los posibles planos de capas que pasan por ese punto(infinidad), se pueden encontrar a partir del conocimiento de vector de tracción en tres planos ortogonales entre sí en 3D. Para obtener esta relación para la tracción en un plano arbitrario, Cauchy introdujo un tetraedro infinitesimal (Fig. 2.2). En la desigualdad tetraedro de Cauchy, el plano de corte arbitrario dA es elegido como un pequeño triángulo inclinada cerca del punto P (¯ x) = P...