Teorìa de conjuntos

Teoría de conjuntos
La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottob Frege y Julios Wilhelm Richard Dedeking en el siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida deobjetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul ono. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sinembargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.

DIAGRAMA DE VEN muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su complemento
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
George Cantor
Un conjunto es un saco lleno de elementos. Dentro del saco puede haber números, letras, plantas, personas,mastodontes, ..., prácticamente cualquier cosa.
Julios Wilhelm Richard Dedekind
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados orepetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si [pic]es un conjunto, y [pic]todos sus elementos, es común escribir:
[pic]
para definir a tal conjunto [pic]. Esta notación empleada para definir al conjunto [pic]se llama notación por extensión.
Para representar que un elemento [pic]pertenece a un conjunto A, escribimos [pic](léase "x en A", "x pertenece a A"o bien "x es un elemento de A"). La negación de [pic]se escribe [pic](léase [pic]no pertenece a [pic]).
El conjunto universal que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas lasciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama Conjunto Vacío que se denota por [pic]. Es decir
[pic]
La característica importante deeste conjunto es que satisface todos los elementos posibles que no están contenidos en él, es decir
[pic].
Por otro lado, si todos los elementos [pic]de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma que pueda ser expresada como una proposición [pic], con la indeterminada [pic], usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
[pic]
Lo anterior se lee "A es el conjunto deelementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tal que"; este símbolo puede ser remplazado por una barra [pic].
Por ejemplo, el conjunto [pic]puede definirse por:
[pic]
donde el símbolo [pic]representa al conjunto de los número naturales.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos

Igualdad de conjuntos

Dos conjuntos...