Teoríe del error

Teoría del Error
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseño de la ingeniería.
En estas notas se usara el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en los cálculos numéricos en lasimprecisiones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error.
1. Representación Interna de los Números:
El sistema binario, en ciencias e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos nivelesde voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
1.1 Precisión: Se refiere a que tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros.
1.2 Magnitud: Es una propiedad o cualidad medible de un sistema físico, es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudesfísicas se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón.
2. Aritmética de Punto Fijo y de Punto Flotante:
2.1 Aritmética de Punto Fijo:
• Un entero se puede representar empleando todos los bits de una palabra de computadora, con la salvedad de que se debe reservar un bit para el signo. Por ejemplo, enuna máquina con longitud de palabra de 32 bits, los enteros están comprendidos entre -(231 - 1) y 231 - 1 = 2147483647. Un número representado en formato entero es 'exacto'.
• Las operaciones aritméticas entre números enteros son también 'exactas' siempre y cuando: La solución no esté fuera del rango del número entero más grande o más pequeño que se puede representar (generalmente con signo). Enestos casos se dice que se comete un error de desbordamiento por exceso o por defecto (en inglés: Overflow y Underflow) y es necesario recurrir a técnicas de escalado para llevar a cabo las operaciones.
La división se interpreta que da lugar a un número entero, despreciando cualquier resto.
Por estos motivos, la aritmética de punto fijo se emplea muy raramente en cálculos no triviales.
2.2Aritmética de Punto Flotante:
• La aritmética de punto flotante es un método de representación de números reales que se puede adaptar al orden de magnitud del valor a representar, usualmente trasladando el punto decimal, mediante un exponente, hacia la posición de la primera cifra significativa del valor. De esta forma, con un número dado de dígitos representativos se obtiene una mayor precisión,debido a que el valor de estos dígitos es siempre significativo sea cual sea el orden de magnitud del número a representar. Debido a esta adaptación, se representa un rango mucho mayor de números, determinado por los valores límite que puede tomar el exponente.
3. Operaciones con Punto Flotante Normalizado:
Se denominan así a las representaciones internas al procesador que modelan a los númerosreales. En forma externa, se representan como números con coma (3.1415926 con punto), o bien en notación científica 0.12 10-5 (con un simple dígito a la izquierda del punto decimal).
Se dice que el número está normalizado si el dígito a la izquierda no es cero; en el ejemplo anterior: 1.2 10-6. En el caso de computadores, se emplea números en sistema binario, y con un número finito de dígitos.Existe un compromiso entre los bits dedicados al exponente y los que representan la mantisa (o cifras significativas del número). El compromiso es entre el rango de representación y la exactitud de la representación. Por otro lado, debido a la forma de acceso la memoria, los números deben ser una o más palabras de la memoria.
3.1 Adición y Sustracción:
Método de suma/resta:
– Extraer...