Teorema de exitencia

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3.3 Teorema de existencia para integrales definidas.

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Teorema fundamental del calculo

Vimos que cuando f(x) es la razón de cambio de la función F(x) y f(x) ≥ 0 en [a, b] entonces
la integraldefinida tiene la siguiente interpretación:
[pic]’ cambio total en F(x) cuando x cambia de “a” a “b”.
Decir que f(x) es la razón de cambio de F(x) significa que f(x) es la derivada de F(x) oequivalentemente que F(x) es una primitiva de f(x). El cambio total en F(x) cuando x cambia de a a b es la diferencia entre el valor de F al final y el valor de F al principio, es decir, F(b) − F(a). Podemosdefinir [pic]’ F(b) − F(a).
Esta definición o principio se puede aplicar a todas las razones de cambio en las ciencias sociales y naturales. A modo de ejemplo podemos citar:
Si v(t) es el volumen de aguade un depósito, en el instante t, entonces su derivada v'(t) es la razón a la cual fluye el agua hacia el depósito en el instante t. Así [pic]’ v(t2) − v(t1) es el cambio en la cantidad de agua en eldepósito entre los instantes t1 y t2.
Si [c](t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante t entonces la velocidad de reacción es la derivada [c]'(t). De esta manera[pic]’ [c](t2) − [c](t1) es el cambio en la concentración [c] desde el instante t1 hasta el t2.
Si la masa de una varilla, medida desde la izquierda hasta un punto x, es m(x) entonces la densidad lineales ρ (x) ’ m'(x). De esta manera [pic]’ m(b) − m(a) es la masa del segmento de la varilla entre x ’ a y x ’ b.
Si la tasa de crecimiento de una población es [pic]entonces [pic]’ p(t2) − p(t1) es elaumento de población durante el período desde t1 hasta t2.
Si c(x) es el costo para producir x unidades de un artículo, entonces el costo marginal es la derivada c'(t). Por consiguiente [pic]’...