teorema de gaus

Escuela de Educación Técnica N° 6
Prof. Lorena Laugero – Prof. Sebastián Leoni – Prof. Patricia Taddeo

Factorización de polinomios
Cajas de igual volumen
En una fábrica de chocolates, se decidió envasar los bombones en dos modelos de cajas
cuyos volúmenes sean iguales. Una de ellas debe ser un cubo. La otra, un prisma, cuyo ancho
sea igual al del cubo, su profundidad sea el doble, y su altura, 4cm menor.
¿Cómo podemos hallar las medidas exactas de cada una de estas cajas?¿Qué ecuaciones
podríamos plantear?
Completamos la tabla con la información que disponemos:
Modelo

Ancho

Profundidad

Altura

Volumen

Cubo
Prisma
Cada uno de los volúmenes es un polinomio de grado
Hallemos los valores de x para los cuales ambos volúmenes son iguales.
Vcubo = V prisma

Los valores de x que igualan losvolúmenes son los mismos que anulan el polinomio
x − 8x 2 .
3

Sabemos que los valores de x que anulan un polinomio son sus raíces, busquemos
entonces, las raíces de P ( x) = x 3 − 8 x 2 .
Una forma eficaz de hallar las raíces de P ( x) = x 3 − 8 x 2 es expresándolo como
producto de otros polinomios.
Como los dos términos de P (x) contienen un facto común, que es x 2 , lo extraemos:
P ( x) = x 3− 8 x 2 = x 2 ⋅ ( x − 8)
Entonces:
P ( x) = 0 ⇒ x 3 − 8 x 2 = 0 ⇒ x 2 ⋅ ( x − 8)
Como nos quedó el producto de dos factores igualado a 0, necesariamente uno de ellos
debe ser nulo: x 2 = 0 o x − 8 = 0 ; entonces x =
yx=
son las raíces de P (x) y,
a la vez, son los valores que hacen que los volúmenes sean iguales.
Si x =

, los volúmenes dan

, y esa solución no nos sirve.
Matemática – 1º año
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Si x =

, tenemos que:
Vcubo =
V prisma =

Conclusión: En esa fábrica deben armar un modelo de caja que sea un cubo de
arista, y otro que sea un prisma de
de frente,
de profundidad y
Así, ambas cajas tendrán el mismo volumen, que será de
.

de
de alto.

Teorema fundamental del álgebraRecordemos que un valor de x es raíz de P (x) si el polinomio se anula para ese valor.
Además, si P (x) está expresado como producto de otros polinomios, las raíces de éstos son
las raíces de P (x) .
Observen los siguientes ejemplos:
Polinomio factorizado

Raíces reales

Cantidad de raíces reales

P ( x) = ( x − 1) ⋅ ( x − 2) ⋅ ( x + 3)

x = 1; x = 2; x = -3

Tres

Q ( x) = ( x − 7) ⋅ ( x − 4) 2

x = 7;x = 4

Tres

R ( x) = ( x − 5) 3

x=5

Tres

S ( x) = ( x − 8) ⋅ ( x 2 + 1)

x=8

Una

Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma raíz,
a ésta se la llama raíz múltiple. Por eso, x = 4 es una raíz doble de Q (x) y x = -5 es una raíz
triple de R (x) .
En la tabla anterior figuran las raíces reales, pero un polinomio puede tener raíces reales
y no reales.Existe un teorema, llamado teorema fundamental del álgebra, a partir del cual
podemos afirmar que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, considerando las
reales y las no reales.
Otra consecuencia de este teorema es la siguiente:
Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales

Las raíces no reales siempre vienen en parejas. Por eso, un polinomio de grado tres
puede tener unaraíz real y dos raíces
, o bien, tener tres raíces
.

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Actividades
1 ) Dada la siguiente gráfica:
a ) Indiquen las raíces de P (x) .
b ) ¿Cuál es el mínimo grado posible de P (x) ?
2 ) ¿Es posible que un polinomio de grado cinco tenga exactamente cuatro raíces reales?
3) Indique si es cierto que todas las raíces de un polinomio de grado par pueden ser no
reales.
4 ) Indicar la multiplicidad de las raíces de los siguientes polinomios.
a ) P1 ( x) = −4 ⋅ ( x − 3) 2 ⋅ ( x + 3) 2
b ) P2 ( x) = 2 ⋅ ( x + 1) 5 ⋅ x 2
Polinomios expresados como productos
En el problema inicial vimos que era más conveniente expresar la ecuación mediante el
producto 0 = x 2 ⋅ ( x −...